Kezdőlap


Feladat:	F.2604	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bencze Mihály
Füzet:	1987/szeptember, 253 - 255. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Egészrész, törtrész függvények, Függvények folytonossága, Hatványösszeg, Határozott integrál, Numerikus és grafikus módszerek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/november: F.2604

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a vizsgált összeget $S$ -sel. Az összeg tagjai az $f (x) =$ $= \frac{1}{\sqrt[^{4}]{x}}$ függvény egész helyeken fölvett értékei az $[1; 10 000]$ intervallumban. Az $f$ folytonos ebben az intervallumban, ezért ott integrálható. Tekintsük a következő integrálközelítő-összegeket:

\begin{matrix} A = \sum_{k = 2}^{10 000} f (k), F = \sum_{k = 1}^{9999} f (k) . \end{matrix}

Ezekkel az integrál értéke becsülhető, éspedig

\begin{matrix} A = S - 1 < \int_{1}^{10 000} \frac{d x}{\sqrt[^{4}]{x}} < F = S - \frac{1}{10}, \end{matrix}

(1)

hiszen

f

a tekintett intervallumban pozitív és monoton fogy. Mivel

\begin{matrix} \int_{1}^{10 000} \frac{d x}{\sqrt[^{4}]{x}} = 1332, \end{matrix}

ezért (1) szerint

S - 1 < 1332 < S - 0, 1

, azaz

1332, 1 < S < 1333

, és így

[S] = 1332

II. megoldás.

S

egész részének meghatározásához fölhasználjuk a következő, minden pozitív egészre érvényes egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{4}{3} ({(n + 1)}^{3 / 4} - n^{3 / 4}) < \frac{1}{\sqrt[^{4}]{n}} < \frac{4}{3} (n^{3 / 4} - {(n - 1)}^{3 / 4}) . \end{matrix}

(2)

Csak a bal oldali egyenlőtlenséget igazoljuk, a másik bizonyítása hasonlóan történhet. Osszuk ennek mindkét oldalát

\frac{4}{3} \cdot n^{3 / 4}

-nel. Rendezés után kapjuk, hogy a bizonyítandó állítás a

\begin{matrix} \sqrt[^{4}]{{(1 + \frac{1}{n})}^{3}} < 1 + \frac{3}{4 n} \end{matrix}

(3)

egyenlőtlenséggel ekvivalens. A bal oldalon négy szám, az

1, 1 + \frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}

mértani közepe, a jobb oldalon pedig ugyanezeknek a számtani közepe áll, és mivel a számok nem mind egyenlők, (3) valóban igaz.
Ezután

S

, illetve

S - 1

a következőképpen becsülhető:

\begin{matrix} S = \frac{1}{\sqrt[^{4}]{10 000}} + \frac{1}{\sqrt[^{4}]{9999}} + ... + \frac{1}{\sqrt[^{4}]{2}} + \frac{1}{\sqrt[^{4}]{1}} > \frac{4}{3} [(10 001^{3 / 4} - 10 000^{3 / 4}) + \\ + (10 000^{3 / 4} - 9999^{3 / 4}) + ... + (2^{3 / 4} - 1^{3 / 4})] = \frac{4}{3} [10 001^{3 / 4} - 1] . \\ S - 1 = \frac{1}{\sqrt[^{4}]{10 000}} + \frac{1}{\sqrt[^{4}]{9999}} + ... + \frac{1}{\sqrt[^{4}]{2}} < \frac{4}{3} (10 000^{3 / 4} - 9999^{3 / 4}) + \\ + (9999^{3 / 4} - 9998^{3 / 4}) + ... + (2^{3 / 4} - 1^{3 / 4}) = \frac{4}{3} [10 000^{3 / 4} - 1] = 1332. \end{matrix}

Azt kaptuk tehát, hogy

\frac{4}{3} (10 001^{3 / 4} - 1) < S < 1333

. Mivel pedig

\begin{matrix} \frac{4}{3} (10 001^{3 / 4} - 1) > \frac{4}{3} (10 000^{3 / 4} - 1) = 1332, \end{matrix}

azért

[S] = 1332

Megjegyzések. 1. A

(2)

egyenlőtlenség hátterében a

g (x) = x^{3 / 4}

függvény konkáv volta áll, ugyanis

g' (x) = \frac{3}{4} x^{- 1 / 4}

alapján (2) a

\begin{matrix} g (x + 1) - g (x) < g' (x) < g (x) - g (x - 1) \end{matrix}

(2')

alakba írható. A

(2')

két szélén a görbe egy-egy húrjának, közepén pedig az

(x, g (x))

-beli érintőjének meredeksége áll.

2. Az I. megoldás módszerével általában is igazolható, hogyha

k \geq 2

, természetes szám, akkor

\begin{matrix} \frac{k}{k - 1} (n^{\frac{k - 1}{k}} - 1) + \frac{1}{\sqrt[^{k}]{n}} < \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt[^{k}]{i}} < \frac{k}{k - 1} (n^{\frac{k - 1}{k}} - 1) + 1. \end{matrix}

Hasonlóan igazolható, hogy

\begin{matrix} \frac{{(n + 1)}^{x} - 1}{x} \leq \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i^{1 - x}} \leq \frac{{(n + 1)}^{x}}{x} - {(n + 1)}^{x - 1}, ahol 0 < x \leq 1 . \end{matrix}