Feladat: F.2582 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1986/december, 436 - 438. oldal  PDF file
Témakör(ök): Vetítések, Kocka, Középvonal, Térbeli ponthalmazok távolsága, Térelemek és részeik, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/április: F.2582

Tekintsük egy kocka három, páronként kitérő élegyenesét. Adjunk meg olyan egyenest, amely mindhárom élegyenest metszi!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Be fogjuk látni, hogy tetszés szerinti számú, megfelelő e egyenest lehet megadni. Másképpen mondva: lehetne további követelményt is előírni az e egyenesre, például azt, hogy az egyik adott egyenest, a-t, egy előírt P pontban messe. P-ként a-nak csak két különleges helyzetű pontját nem választhatjuk.

 
 
1. ábra
 

Legyen a kocka alaplapja ABCD, oldalélei AE,BF,CG,DH és válasszuk a három, páronként kitérő élegyenes szerepére AB=a-t, FG=b-t és DH=c-t (1. ábra). Legyen a-nak A-tól és B-től különböző, egyébként tetszőleges pontja P. Így a P pont és a b egyenes meghatározta S sík biztosan metszi c-t, nem lehet párhuzamos vele. Ha ugyanis S-et b körül forgatjuk, ez csak abban a helyzetben párhuzamos c-vel, amikor tartalmazza a c-vel párhuzamos GC egyenest, tehát ha S azonos a kocka GCBF lapsíkjával, ennek viszont a-val közös pontja a kizárt B csúcs.
Jelöljük S és c közös pontját Q-val. Ekkor PQ egyenes mindig megfelel e szerepére, amihez csak azt kell belátnunk, hogy a PQ egyenes b-t is metszi. Mivel P is, Q is benne van az S síkban, elegendő megmutatnunk, hogy PQ nem lehet párhuzamos b-vel. Az előbbihez hasonlóan okoskodunk. Minden olyan egyenes, amely párhuzamos b-vel és metszi c-t, benne van az EHDA lapsíkban, amelyet egyrészt c, másrészt a b-vel párhuzamos EH egyenes határoz meg. PQ csak akkor volna párhuzamos b-vel, ha azonos lenne az AD egyenessel, ezt pedig szintén kizártuk azzal, hogy P különböző A-tól.
P-t végigfuttatva az AB egyenesen, a két kizárt esettől eltekintve mindig megfelelő PQ egyenest kapunk.
 

Megjegyzés. Nem használtuk ki, hogy az egyeneseinket szolgáltató kocka 3 é1iránya páronként merőleges egymásra, sem azt, hogy a kitérő párok közti legrövidebb távolságok (normáltranszverzálisok) egyenlő hosszúak. Lényegében ugyanígy megy a megoldás tetszőleges három, páronként kitérő egyenes esetében, amilyenek például a Gy. 2373. gyakorlat a1,a2,a3 egyenesei.
 

II. megoldás. Elegendő megadnunk egyetlen megfelelő egyenest. Az előbbi jelöléseket használjuk. Vetítsük az a,b,c egyeneseket merőlegesen az ABCD lap síkjára, a vetülete önmaga, b-é a BC egyenes, c-é pedig a D pont. Tükrözzük D-re a-t, legyen a képe a', és messe ez BC-t K-ban, továbbá legyen K őse a tükrözésben az L pont (2. ábra). Vetítsük most "vissza'' K-t b-re, így kapjuk az M pontot. Az LKM háromszög LK oldalának felezőpontja éppen D, így DH e háromszög egyik középvonalának egyenese, tehát metszi az LM oldalt (N pont). Ez pedig azt jelenti, hogy az LM egyenes megfelelő, hiszen az a,b,c egyenesek mindegyikét metszi.
 
 
2. ábra