A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Be fogjuk látni, hogy tetszés szerinti számú, megfelelő egyenest lehet megadni. Másképpen mondva: lehetne további követelményt is előírni az egyenesre, például azt, hogy az egyik adott egyenest, -t, egy előírt pontban messe. -ként -nak csak két különleges helyzetű pontját nem választhatjuk.
1. ábra Legyen a kocka alaplapja , oldalélei és válasszuk a három, páronként kitérő élegyenes szerepére -t, -t és -t (1. ábra). Legyen -nak -tól és -től különböző, egyébként tetszőleges pontja . Így a pont és a egyenes meghatározta sík biztosan metszi -t, nem lehet párhuzamos vele. Ha ugyanis -et körül forgatjuk, ez csak abban a helyzetben párhuzamos -vel, amikor tartalmazza a -vel párhuzamos egyenest, tehát ha azonos a kocka lapsíkjával, ennek viszont -val közös pontja a kizárt csúcs. Jelöljük és közös pontját -val. Ekkor egyenes mindig megfelel szerepére, amihez csak azt kell belátnunk, hogy a egyenes -t is metszi. Mivel is, is benne van az síkban, elegendő megmutatnunk, hogy nem lehet párhuzamos -vel. Az előbbihez hasonlóan okoskodunk. Minden olyan egyenes, amely párhuzamos -vel és metszi -t, benne van az lapsíkban, amelyet egyrészt , másrészt a -vel párhuzamos egyenes határoz meg. csak akkor volna párhuzamos -vel, ha azonos lenne az egyenessel, ezt pedig szintén kizártuk azzal, hogy különböző -tól. -t végigfuttatva az egyenesen, a két kizárt esettől eltekintve mindig megfelelő egyenest kapunk.
Megjegyzés. Nem használtuk ki, hogy az egyeneseinket szolgáltató kocka 3 é1iránya páronként merőleges egymásra, sem azt, hogy a kitérő párok közti legrövidebb távolságok (normáltranszverzálisok) egyenlő hosszúak. Lényegében ugyanígy megy a megoldás tetszőleges három, páronként kitérő egyenes esetében, amilyenek például a Gy. 2373. gyakorlat egyenesei.
II. megoldás. Elegendő megadnunk egyetlen megfelelő egyenest. Az előbbi jelöléseket használjuk. Vetítsük az egyeneseket merőlegesen az lap síkjára, vetülete önmaga, -é a egyenes, -é pedig a pont. Tükrözzük -re -t, legyen a képe , és messe ez -t -ban, továbbá legyen őse a tükrözésben az pont (2. ábra). Vetítsük most "vissza'' -t -re, így kapjuk az pontot. Az háromszög oldalának felezőpontja éppen , így e háromszög egyik középvonalának egyenese, tehát metszi az oldalt ( pont). Ez pedig azt jelenti, hogy az egyenes megfelelő, hiszen az egyenesek mindegyikét metszi.
2. ábra
|