Feladat: F.2570 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Batternay Anita ,  Beke T. ,  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Biró J. ,  Blahota I. ,  Bóna M. ,  Cynolter G. ,  Dinnyés Enikő ,  Drasny G. ,  Habony Zs. ,  Hajdú G. ,  Hantosi Zs. ,  Hartmann Klára ,  Horváth L. ,  Janszky J. ,  Kántor A. ,  Karsai Anikó ,  Kelemen E. ,  Kintli L. ,  Ládonyi F. ,  Ligeti Z. ,  Márkus A. ,  Olasz-Szabó M. ,  Pál G. ,  Pálmai L. ,  Pongor G. ,  Ribényi Á. ,  Rimányi R. ,  Róth E. ,  Rozgonyi T. ,  Szalay Gy. ,  Szederkényi Judit ,  Székely A. ,  Takács Á. ,  Tasnádi T. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1986/szeptember, 257 - 258. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Vetítések, Trigonometriai azonosságok, Középvonal, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/február: F.2570

Egy kör sugárnyi hosszúságú AB húrját és a rövidebbik AB ívét három-három egyenlő részre osztottuk. Az A-hoz közelebbi osztópontokat összekötő egyenes metssze a B-hez közelebbi osztópontokat összekötő egyenest a P pontban. Mekkora az APB szög?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a húr harmadoló pontjai C és D, az ívéi C' és D'. Jelölje G a C' merőleges vetületét AB-n, és használjuk az ábra további jelöléseit is.

 
 
1. ábra
 

A kör sugara legyen egységnyi. A nyilvánvaló szimmetria miatt elegendő a keresett szög felét meghatározni. Ennek tangensét AF=12 alapján FP ismeretében kiszámíthatjuk. FP meghatározásához vegyük észre, hogy GCC'ΔFCPΔ, hiszen megfelelő oldalaik párhuzamosak. Ezért
FPFC=GC'GC,azazFP=FCGC'GC.
Az itt szereplő szakaszok közül FC=16, a másik kettő pedig szögfüggvényekkel fejezhető ki:
GC'=FH=OH-OF=cos10-cos30=2sin10sin20,GC=GF-CF=C'H-CF=sin10-16.


Mivel 16=13sin30, így
GC=13[2sin10-(sin30-sin10)]=2sin103(1-cos20).
Innen
tgAPF=AFFP=AFFCGCGC'=3GCGC'=1-cos20sin20=tg10.
Tekintve, hogy APF biztosan hegyesszög, APF=10, azaz APB=20.
 
II. megoldás. Legyen az AB húrhoz tartozó középponti szög α. A feladat állítását kissé általánosítva azt fogjuk megmutatni, hogy akármilyen AB húr esetén APB=α3.
 
 
2. ábra
 

Vetítsük az A, B pontokat P-ből a C'D' egyenesre. Ekkor A'C'=C'D'=D'B', ezért az AD'A' háromszögben C' az A'D' oldal felezőpontja. Az OC' sugár felezi az AD' húrt, ugyanis C' az AD' ív felezőpontja. Ezért OC' az OAD' háromszög tengelye, felezi AD'-t, tehát egyszersmind középvonal az AD'A háromszögben, és így párhuzamos A'P-vel. Hasonlóan kapjuk, hogy OD' párhuzamos B'P-vel. Ezért mint párhuzamos szárú szögek, APB=C'OD'=α3.