Kezdőlap


Feladat:	F.2570	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Batternay Anita , Beke T. , Benczúr A. , Bereczky Á. , Biró J. , Blahota I. , Bóna M. , Cynolter G. , Dinnyés Enikő , Drasny G. , Habony Zs. , Hajdú G. , Hantosi Zs. , Hartmann Klára , Horváth L. , Janszky J. , Kántor A. , Karsai Anikó , Kelemen E. , Kintli L. , Ládonyi F. , Ligeti Z. , Márkus A. , Olasz-Szabó M. , Pál G. , Pálmai L. , Pongor G. , Ribényi Á. , Rimányi R. , Róth E. , Rozgonyi T. , Szalay Gy. , Szederkényi Judit , Székely A. , Takács Á. , Tasnádi T. , Zaránd G.
Füzet:	1986/szeptember, 257 - 258. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Vetítések, Trigonometriai azonosságok, Középvonal, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/február: F.2570

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a húr harmadoló pontjai $C$ és $D$ , az ívéi $C'$ és $D'$ . Jelölje $G$ a $C'$ merőleges vetületét $A B$ -n, és használjuk az ábra további jelöléseit is.

1. ábra

A kör sugara legyen egységnyi. A nyilvánvaló szimmetria miatt elegendő a keresett szög felét meghatározni. Ennek tangensét

A F = \frac{1}{2}

alapján

F P

ismeretében kiszámíthatjuk.

F P

meghatározásához vegyük észre, hogy

G C C' Δ \sim F C P Δ

, hiszen megfelelő oldalaik párhuzamosak. Ezért

\begin{matrix} \frac{F P}{F C} = \frac{G C'}{G C}, azaz F P = F C \cdot \frac{G C'}{G C} . \end{matrix}

Az itt szereplő szakaszok közül

F C = \frac{1}{6}

, a másik kettő pedig szögfüggvényekkel fejezhető ki:

\begin{matrix} G C' = F H = O H - O F = cos 10^{\circ} - cos 30^{\circ} = 2 sin 10^{\circ} sin 20^{\circ}, \\ G C = G F - C F = C' H - C F = sin 10^{\circ} - \frac{1}{6} . \end{matrix}

Mivel

\frac{1}{6} = \frac{1}{3} \cdot sin 30^{\circ}

, így

\begin{matrix} G C = \frac{1}{3} [2 sin 10^{\circ} - (sin 30^{\circ} - sin 10^{\circ})] = \frac{2 sin 10^{\circ}}{3} (1 - cos 20^{\circ}) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} tg A P F ∢ = \frac{A F}{F P} = \frac{A F}{F C} \cdot \frac{G C}{G C'} = \frac{3 G C}{G C'} = \frac{1 - cos 20^{\circ}}{sin 20^{\circ}} = tg 10^{\circ} . \end{matrix}

Tekintve, hogy

A P F ∢

biztosan hegyesszög,

A P F ∢ = 10^{\circ}

, azaz

A P B ∢ = 20^{\circ}

II. megoldás. Legyen az

A B

húrhoz tartozó középponti szög

α

. A feladat állítását kissé általánosítva azt fogjuk megmutatni, hogy akármilyen

A B

húr esetén

A P B ∢ = \frac{α}{3}

2. ábra

Vetítsük az

A

B

pontokat

P

-ből a

C' D'

egyenesre. Ekkor

A' C' = C' D' = D' B'

, ezért az

A D' A'

háromszögben

C'

A' D'

oldal felezőpontja. Az

O C'

sugár felezi az

A D'

húrt, ugyanis

C'

A D'

ív felezőpontja. Ezért

O C'

O A D'

háromszög tengelye, felezi

A D'

-t, tehát egyszersmind középvonal az

A D' A

háromszögben, és így párhuzamos

A' P

-vel. Hasonlóan kapjuk, hogy

O D'

párhuzamos

B' P

-vel. Ezért mint párhuzamos szárú szögek,

A P B ∢ = C' O D' ∢ = \frac{α}{3}