Kezdőlap


Feladat:	F.2529	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Blahota I. , Bóna M. , Boros Z. , Cynolter G. , Deák CS. , Dinnyés Enikő , Fülöp T. , Grallert Ágnes , Hetyei Judit , Íjjas Cs. , Kocsis 443 Katalin , Limbek Cs. , Németh-Buhin Á. , Nyikes T. , Ohnmacht R. , Olasz-Szabó M. , Pfeil T. , Pintér A. , Regős G. , Ribényi Á. , Szigeti Z. , Várkonyi V.
Füzet:	1985/november, 380. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/április: F.2529

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a Lemoine-pontot $L$ -lel. Legyen $a = B C$ , $b = A C$ , $c = A B$ , $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ pedig a megfelelő oldalhoz tartozó magasság. Jelöljük az $A B C$ háromszög területét $t$ -vel, az $L$ pont távolsága az $a$ , $b$ , $c$ oldalaktól pedig legyen $x$ , $y$ , $z$ .

U R L

háromszög hasonló az

A B C

háromszöghöz, hiszen oldalaik párhuzamosak. Ezért

U R : a = x : m_{a}

, azaz

U R = \frac{a x}{m_{a}}

. Ugyanígy

T Q = \frac{b y}{m_{b}}

és

S P = \frac{c z}{m_{c}}

.

Tehát

\begin{matrix} U R : Q T : S P = \frac{a x}{m_{a}} : \frac{b y}{m_{b}} : \frac{c z}{m_{c}} . \end{matrix}

(1)

Felhasználva, hogy

a : b : c = \frac{1}{m_{a}} : \frac{1}{m_{b}} : \frac{1}{m_{c}}

(hiszen

a m_{a} = b m_{b} = c m_{c} = 2 t

), továbbá hogy

x : y : z = a : b : c

(l. Surányi László cikkének 15. tételét. KöMaL 34. évfolyam 339. oldal, 1984. november), (1)-ből azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} U R : Q T : S P = a^{3} : b^{3} : c^{3}, \end{matrix}

és ezt kellett belátni.