Feladat: F.2529 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Blahota I. ,  Bóna M. ,  Boros Z. ,  Cynolter G. ,  Deák CS. ,  Dinnyés Enikő ,  Fülöp T. ,  Grallert Ágnes ,  Hetyei Judit ,  Íjjas Cs. ,  Kocsis 443 Katalin ,  Limbek Cs. ,  Németh-Buhin Á. ,  Nyikes T. ,  Ohnmacht R. ,  Olasz-Szabó M. ,  Pfeil T. ,  Pintér A. ,  Regős G. ,  Ribényi Á. ,  Szigeti Z. ,  Várkonyi V. 
Füzet: 1985/november, 380. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/április: F.2529

Messék az ABC háromszög Lemoine-pontján átmenő és a BC, CA, AB oldalával párhuzamos egyenesek az AB, AC oldalpárt P-ben, Q-ban, a BC, BA oldalpárt R-ben, S-ben, a CA, CB oldalpárt T-ben, U-ban. Igazoljuk, hogy
UR:QT:SP=BC3:CA3:AB3.(3)


(Lásd Surányi László cikkének 13. ábráját a Lap 1984. novemberi számában, a 350. oldalon.)

Jelöljük a Lemoine-pontot L-lel. Legyen a=BC, b=AC, c=AB, ma, mb, mc pedig a megfelelő oldalhoz tartozó magasságok. Jelöljük az ABC háromszög területét t-vel, az L pont távolsága az a, b, c oldalaktól pedig legyen x, y, z.
 
 

Az URL háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, hiszen oldalaik párhuzamosak. Ezért  UR:a=x:ma, azaz UR=axma. Ugyanígy TQ=bymb és SP=czmc.

Tehát
UR:QT:SP=axma:bymb:czmc.(1)


Felhasználva, hogy a:b:c=1ma:1mb:1mc (hiszen ama=bmb=cmc=2t), továbbá hogy x:y:z=a:b:c (l. Surányi László cikkének 15. tételét. KöMaL 34. évfolyam 339. oldal, 1984. november), (1)-ből azt kapjuk, hogy
UR:QT:SP=a3:b3:c3,
és ezt kellett belátni.
 

 Grallert Ágnes (Miskolc, Földes Ferenc Gimn., III. o. t.)