Feladat: F.2522 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bereczky Á. ,  Blahota I. ,  Bóna M. ,  Boros Z. ,  Csermely Ágnes ,  Czuprák E. ,  Deák CS. ,  Dinnyés Enikő ,  Edvi T. ,  Fülöp T. ,  Heller Judit ,  Hetyei Judit ,  Illés Cs. ,  Limbek Cs. ,  Németh-Buhin Á. ,  Pfeil T. ,  Pintér A. ,  Ráth E. ,  Regős G. ,  Szigeti Z. ,  Szilágyi L. ,  Törcsvári A. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1985/november, 371 - 372. oldal  PDF file
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Középvonal, Súlyvonal, Körülírt kör, Súlypont, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: F.2522

Az ABC nem szabályos háromszög oldalfelező pontjai rendre A0,  B0,  C0, az ABC és A0B0C0 háromszögek körülírt körének középpontja K, ill. K1. Mit mondhatunk a háromszögekről, ha tudjuk, hogy a KK1 egyenes az ABC háromszöget két egyenlő területű részre osztja?

1. A két háromszög súlyvonalainak egyenesei páronként egybeesnek, ennélfogva közös a súlypontjuk is. Valóban, az ABC háromszög egyik súlyvonala AA0, és ez átmegy a B0C0 szakasz felezőpontján, hiszen az A0B0AC0 négyszög paralelogramma. Jelöljük a közös súlypontot S-sel.
A súlypont harmadoló tulajdonságánál fogva a két háromszög S-re mint középpontra nézve hasonló egymáshoz. Ennélfogva a K és K0 megfelelő pontpárjuk is képe egymásnak, így az ABC háromszög területét felező KK0 egyenes átmegy S-en. Megmutatjuk, hogy KK0 a két háromszög egy megfelelő csúcspárján is átmegy, vagyis azonos valamelyik közös súlyvonal egyenessel.
2. Válasszuk úgy a betűzést, hogy az A és C csúcsok a KK0 egyenes két partján legyenek, és az egyenesnek az AC oldallal közös E pontjára ‐ a ,,belépési'' pontra ‐ teljesüljön ECEA. Eszerint E a CB0 szakaszon van, megengedve ennek B0 végpontját is, de C-t nem.
 
 


Ekkor a KK0 egyenes a háromszögből csak a BA szakasz valamely F pontján át léphet ki ‐ megengedve B-t is. Ugyanis a CB szakasz tetszőleges belső X pontját gondolva kilépési pontnak, a CXE háromszög területe legfeljebb annyi lenne, mint a CBB0 háromszög területe, ‐ ami pedig fele az ABC háromszög területének. Ezt a korlátot is csak akkor érné el, ha egyidejűen E azonos lenne B0-lal és X azonos B-vel, ekkor pedig nyilvánvalóan teljesül az állítás.
Már csak az EC<EA nagyságviszonnyal kell foglalkoznunk. Ekkor FA>FB, hiszen egyébként a CC0A terület nagyobb lenne az EFA területnél, márpedig mindkettő a háromszög területének a fele.
Hagyjuk figyelmen kívül az egyenlő területű FEA és C0CA háromszögek közös részét, az AC0SE idomot, ekkor a maradó FSC0 és ESC valódi háromszögek területe is egyenlő. S-nél levő szögük egyenlő, ennélfogva a t=12bcsinα típusú területképlet alapján az S-ben összefutó oldalszakaszaik szorzata egyenlő: SFSC0=SCSE. Innen a súlypont harmadoló tulajdonsága alapján:
SF=SCSC0SE=2SE,ebbőlFE=FS+SE=3SE.
Eszerint F-nek az AC egyenestől mért távolsága 3-szor akkora, mint S távolsága, vagyis éppen akkora, mint B távolsága. Az AB egyenesen csak egy ilyen pont van: B, csak ide eshet F, tehát E a B0-ba. A KK0 egyenes azonos a BB0 súlyvonallal.
Így a feladat föltevései alapján a már előbb elintézett nyilvánvaló esetre jutottunk; más eset nincs, és ezzel (a dőlt betűs) állításunkat bebizonyítottuk.
3. A választott betűzés szerint a KK0 egyenes átmegy a B0 oldalfelező ponton. Ez nyilván minden olyan háromszögben teljesül, amelyben K azonos B0-lal, vagyis minden derékszögű háromszögben (ABC=90), amikor persze az A0B0C0 háromszög is derékszögű. (K0 nem lehet azonos B0-lal.) Továbbá azok a háromszögek is a vizsgálandók közé tartoznak, amelyekben a K körközéppont nem azonos B0-lal, de rajta van a BB0 súlyvonalon. Mindezekben BB0 a körnek és vele együtt a háromszögnek is szimmetriatengelye, vagyis az egyenlő szárú (BA=BC) háromszögek is megfelelnek, és más lehetőség már nincs. ‐ A szabályos háromszöget nyilván azért zárta ki eleve a feltevés, mert abban K0 azonos K-val, a KK0 egyenes határozatlan.
Válaszunk tehát a következő: az ABC háromszög vagy derékszögű vagy egyenlő szárú ‐ esetleg mindkét feltételnek eleget tesz. És hozzátesszük: a KK0 egyenes természetesen az A0B0C0 háromszöget is két egyenlő területű részre osztja.