Kezdőlap


Feladat:	F.2522	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bereczky Á. , Blahota I. , Bóna M. , Boros Z. , Csermely Ágnes , Czuprák E. , Deák CS. , Dinnyés Enikő , Edvi T. , Fülöp T. , Heller Judit , Hetyei Judit , Illés Cs. , Limbek Cs. , Németh-Buhin Á. , Pfeil T. , Pintér A. , Ráth E. , Regős G. , Szigeti Z. , Szilágyi L. , Törcsvári A. , Zaránd G.
Füzet:	1985/november, 371 - 372. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Középvonal, Súlyvonal, Körülírt kör, Súlypont, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/március: F.2522

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A két háromszög súlyvonalainak egyenesei páronként egybeesnek, ennélfogva közös a súlypontjuk is. Valóban, az $A B C$ háromszög egyik súlyvonala $A A_{0}$ , és ez átmegy a $B_{0} C_{0}$ szakasz felezőpontján, hiszen az $A_{0} B_{0} A C_{0}$ négyszög paralelogramma. Jelöljük a közös súlypontot $S$ -sel.
A súlypont harmadoló tulajdonságánál fogva a két háromszög $S$ -re mint középpontra nézve hasonló egymáshoz. Ennélfogva a $K$ és $K_{0}$ megfelelő pontpárjuk is képe egymásnak, így az $A B C$ háromszög területét felező $K K_{0}$ egyenes átmegy $S$ -en. Megmutatjuk, hogy $K K_{0}$ a két háromszög egy megfelelő csúcspárján is átmegy, vagyis azonos valamelyik közös súlyvonal egyenessel.
2. Válasszuk úgy a betűzést, hogy az $A$ és $C$ csúcsok a $K K_{0}$ egyenes két partján legyenek, és az egyenesnek az $A C$ oldallal közös $E$ pontjára ‐ a ,,belépési'' pontra ‐ teljesüljön $E C ≦ E A$ . Eszerint $E$ a $C B_{0}$ szakaszon van, megengedve ennek $B_{0}$ végpontját is, de $C$ -t nem.

Ekkor a

K K_{0}

egyenes a háromszögből csak a

B A

szakasz valamely

F

pontján át léphet ki ‐ megengedve

B

-t is. Ugyanis a

C B

szakasz tetszőleges belső

X

pontját gondolva kilépési pontnak, a

C X E

háromszög területe legfeljebb annyi lenne, mint a

C B B_{0}

háromszög területe, ‐ ami pedig fele az

A B C

háromszög területének. Ezt a korlátot is csak akkor érné el, ha egyidejűen

E

azonos lenne

B_{0}

-lal és

X

azonos

B

-vel, ekkor pedig nyilvánvalóan teljesül az állítás.
Már csak az

E C < E A

nagyságviszonnyal kell foglalkoznunk. Ekkor

F A > F B

, hiszen egyébként a

C C_{0} A

terület nagyobb lenne az

E F A

területnél, márpedig mindkettő a háromszög területének a fele.
Hagyjuk figyelmen kívül az egyenlő területű

F E A

és

C_{0} C A

háromszögek közös részét, az

A C_{0} S E

idomot, ekkor a maradó

F S C_{0}

és

E S C

valódi háromszögek területe is egyenlő.

S

-nél levő szögük egyenlő, ennélfogva a

t = \frac{1}{2} b c sin α

típusú területképlet alapján az

S

-ben összefutó oldalszakaszaik szorzata egyenlő:

S F \cdot S C_{0} = S C \cdot S E

. Innen a súlypont harmadoló tulajdonsága alapján:

\begin{matrix} S F = \frac{S C}{S C_{0}} \cdot S E = 2 S E, ebből F E = F S + S E = 3 S E . \end{matrix}

Eszerint

F

-nek az

A C

egyenestől mért távolsága

3

-szor akkora, mint

S

távolsága, vagyis éppen akkora, mint

B

távolsága. Az

A B

egyenesen csak egy ilyen pont van:

B

, csak ide eshet

F

, tehát

E

B_{0}

-ba. A

K K_{0}

egyenes azonos a

B B_{0}

súlyvonallal.
Így a feladat föltevései alapján a már előbb elintézett nyilvánvaló esetre jutottunk; más eset nincs, és ezzel (a dőlt betűs) állításunkat bebizonyítottuk.
3. A választott betűzés szerint a

K K_{0}

egyenes átmegy a

B_{0}

oldalfelező ponton. Ez nyilván minden olyan háromszögben teljesül, amelyben

K

azonos

B_{0}

-lal, vagyis minden derékszögű háromszögben

(A B C ∢ = 90^{\circ})

, amikor persze az

A_{0} B_{0} C_{0}

háromszög is derékszögű. (

K_{0}

nem lehet azonos

B_{0}

-lal.) Továbbá azok a háromszögek is a vizsgálandók közé tartoznak, amelyekben a

K

körközéppont nem azonos

B_{0}

-lal, de rajta van a

B B_{0}

súlyvonalon. Mindezekben

B B_{0}

a körnek és vele együtt a háromszögnek is szimmetriatengelye, vagyis az egyenlő szárú

(B A = B C)

háromszögek is megfelelnek, és más lehetőség már nincs. ‐ A szabályos háromszöget nyilván azért zárta ki eleve a feltevés, mert abban

K_{0}

azonos

K

-val, a

K K_{0}

egyenes határozatlan.
Válaszunk tehát a következő: az

A B C

háromszög vagy derékszögű vagy egyenlő szárú ‐ esetleg mindkét feltételnek eleget tesz. És hozzátesszük: a

K K_{0}

egyenes természetesen az

A_{0} B_{0} C_{0}

háromszöget is két egyenlő területű részre osztja.