Feladat: F.2521 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balázsi Edina ,  Bán Rita ,  Bereczky Á. ,  Blahota I. ,  Bóna M. ,  Boros Z. ,  Bortel L. ,  Csermely Ágnes ,  Deák CS. ,  Dinnyés Enikő ,  Edvi T. ,  Fáskerti Zs. ,  Fülöp T. ,  Grallert Ágnes ,  Hetyei Judit ,  Íjjas Cs. ,  Kintli L. ,  Kis Anikó ,  Kiszel I. ,  Kocsis Katalin ,  Krajnák Kornélia ,  Ligeti Z. ,  Limbek Cs. ,  Majzik I. ,  Márovics F. ,  Német-Buhin Á. ,  Nyikes T. ,  Olasz-Szabó M. ,  Pfeil T. ,  Pintér A. ,  Regős G. ,  Sobor G. ,  Törcsvári A. ,  Varsányi L. ,  Vasy A. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1985/november, 368 - 370. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenesek egyenlete, Parabola egyenlete, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: F.2521

Adott az y2=2px egyenletű parabola, a Q(q,0) pont és az x=s egyenletű egyenes, ahol p és s pozitívok, q negatív. Szerkesszünk Q-n át olyan szelőt a görbéhez, amelynek metszéspontjai egyenlő távolságra vannak az adott egyenestől!

1. A p,q,s paraméterek rögzített előjeléből könnyű látni, hogy Q kívül van a parabolán, és rajta van ennek t tengelyén, az adott e egyenes pedig metszi a parabolát és merőleges t-re. Nincs a feladatnak olyan megoldása, amelyben a kérdéses Mi(xi,yi), i=1,2 metszéspontok az adott e egyenesnek ugyanazon a partján lennének, hiszen akkor az M1M2 egyenes párhuzamos volna e-vel és merőleges t-re, emellett átmenne Q-n, így pedig nem metszhetné a parabolát, ellentmondásra jutnánk. Eszerint e elválasztja M1-et M2-től, és az M1M2 szakasz N felezőpontja nyilván rajta van e-n.
 
 

Legyen a keresett szelő iránytangense m (nyilván 0), ekkor egyenlete y=m(x-q). A két vonal egyenletéből az xi abszcisszákra
m2(x-q)2=2px,(1)x2-2(pm2+q)x+q2=0,


továbbá mivel N az e-n van,
x1+x22=s.(2)

Mindjárt magából az (1)-ből korlátozás olvasható ki m-re (vagyis már a p, q paraméter párból). Ahhoz, hogy M1 és M2 egyáltalán létrejöhessenek, a diszkrimináns 1/4 részére teljesülnie kell:
(pm2+q)2-q2=pm2(pm2+2q)0,
azaz
pm2+2q0,|m|p-2q.(3)
Ez eleve szükséges feltétel ahhoz, hogy az (1) és (2) egyidejű figyelembevételével kiszámítandó iránytangens megfelelhessen a feladat követelményének. (Egyenlőség esetén a két metszéspont egybeesik, az y=±m(x-q) egyenesek érintik a parabolát.)
Az iránytangens meghatározásában mellőzhetjük x1 és x2 kiszámítását, hiszen a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közti összefüggések alapján
x1+x2=2(q+pm2),
tehát (2) figyelembevételével
pm2+q=s
amiből
|m|=ps-q.(4)

Erre akkor teljesül (3) is, ha s-q-2q, azaz s-q (>0), vagyis ha OEQO ‐ ahol E az x tengely és e közös pontja ‐, tehát ha az e egyenes legalább annyira van O-tól, mint a Q pont. Ha éppen s=-q, akkor (4) és (3) szerint éppen a két érintő felel meg a követelményeknek, M1,M2 és N egybeesik az előírt e egyenesen.
2. A szelőt N pontjának kitűzésével szerkesztjük meg. Ordinátájának abszolút értéke: EN=|y|=|m|(s-q)=p(s-q)=pQE. Legyen a parabola fókusza F ‐ ez a parabolával együtt adottnak tekintendő ‐, ekkor OF=p/2. Mérjük fel E-től QE meghosszabbítására az EG=2OF=p szakaszt és messük e-t a QG átmérőjű körrel. Ekkor a derékszögű háromszög középarányos tételei szerint a metszéspont N. Ezzel a megoldást befejeztük.
 

Megjegyzések. 1. Érdekes meglátásokra jutunk, ha a szelőt valamelyik Mi alapján próbáljuk megközelíteni, vagyis az xi, yi koordinátáin át. Az xi abszcisszákra (1)-ből, (2) figyelembevételével
x2-2sx+q2=0.(1a)
Szerkesztésükhöz vegyük O tükörképét E-re nézve, legyen ez H, akkor OH=2s=x1+x2, másrészt forgassuk el Q-t O körül derékszöggel a K pontba, vagyis OK=|q|=x1x2. Ezek alapján az OH átmérő fölötti Thalész-kör és a K-n átmenő, az x-tengellyel párhuzamos egyenes K1, K2 metszéspontjainak abszcisszái x1 és x2. Ki létezésének feltétele ebből ismét |q|s.
Gondolhatnánk: már csak ez van hátra: Mi-t kimetszhetjük a parabolából a Ki-n átmenő és az x tengelyre merőleges ei egyenessel. Ámde adott parabola és adott egyenes esetében metszéspontjuk ,,leolvasása'' elvileg egészen más feladat, mint pl. adott kör és adott egyenes esetében! A parabolából ‐ egyenlete alapján ‐ tetszés szerinti számú pontot szerkeszthetünk ugyan, de csak véges számút. A parabolaív csupán olyasféle összekötése pontoknak, mint egy függvénygrafikon. Annyiból talán mégis több, hogy tetszőleges ‐ most xi ‐ abszcisszájú pontját egyformán szerkeszthetjük a definíció alapján.
Legyen F tükörképe O-ra D, itt megy át a d vezéregyenes; és legyen Ki vetülete az x tengelyre K'i Ekkor Mi-nek F-től való távolsága annyi, mint d-től, azaz DKi, tehát Mi kimetszhető ei-ből az F körüli DK'i=xi+p/2 sugarú körrel. ‐ Lehetne xi alapján (ismét mértani középarányos útján) az yi=2pxi hosszúságot is szerkeszteni: xi végpontjától jobbra felmérve a 2p szakaszt stb.
2. Mivel a Ki pontokat (1a)-ból csak s és |q| felhasználásával megszerkeszthettük, vagyis p felhasználása nélkül, azért ezt is mondhatjuk: Ki az adott s, q paraméterpárból (s|q| esetén) minden p>0 értékhez előkészíti a szerkesztést. Az adott p-t csak a második lépésben használjuk.