Kezdőlap


Feladat:	F.2521	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balázsi Edina , Bán Rita , Bereczky Á. , Blahota I. , Bóna M. , Boros Z. , Bortel L. , Csermely Ágnes , Deák CS. , Dinnyés Enikő , Edvi T. , Fáskerti Zs. , Fülöp T. , Grallert Ágnes , Hetyei Judit , Íjjas Cs. , Kintli L. , Kis Anikó , Kiszel I. , Kocsis Katalin , Krajnák Kornélia , Ligeti Z. , Limbek Cs. , Majzik I. , Márovics F. , Német-Buhin Á. , Nyikes T. , Olasz-Szabó M. , Pfeil T. , Pintér A. , Regős G. , Sobor G. , Törcsvári A. , Varsányi L. , Vasy A. , Zaránd G.
Füzet:	1985/november, 368 - 370. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Parabola egyenlete, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/március: F.2521

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A $p$ , $q$ , $s$ paraméterek rögzített előjeléből könnyű látni, hogy $Q$ kívül van a parabolán, és rajta van ennek $t$ tengelyén, az adott $e$ egyenes pedig metszi a parabolát és merőleges $t$ -re. Nincs a feladatnak olyan megoldása, amelyben a kérdéses $M_{i} (x_{i}, y_{i})$ , $i = 1,2$ metszéspontok az adott $e$ egyenesnek ugyanazon a partján lennének, hiszen akkor az $M_{1} M_{2}$ egyenes párhuzamos volna $e$ -vel és merőleges $t$ -re, emellett átmenne $Q$ -n, így pedig nem metszhetné a parabolát, ellentmondásra jutnánk. Eszerint $e$ elválasztja $M_{1}$ -et $M_{2}$ -től, és az $M_{1} M_{2}$ szakasz $N$ felezőpontja nyilván rajta van $e$ -n.

Legyen a keresett szelő iránytangense

m

(nyilván

\neq 0

), ekkor egyenlete

y = m (x - q)

. A két vonal egyenletéből az

x_{i}

abszcisszákra

\begin{matrix} m^{2} {(x - q)}^{2} = 2 p x, & (1) \\ x^{2} - 2 (\frac{p}{m^{2}} + q) x + q^{2} = 0, \end{matrix}

továbbá mivel

N

e

-n van,

\begin{matrix} \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = s . \end{matrix}

(2)

Mindjárt magából az (1)-ből korlátozás olvasható ki

m

-re (vagyis már a

p

q

paraméter párból). Ahhoz, hogy

M_{1}

és

M_{2}

egyáltalán létrejöhessenek, a diszkrimináns

1 / 4

részére teljesülnie kell:

\begin{matrix} {(\frac{p}{m^{2}} + q)}^{2} - q^{2} = \frac{p}{m^{2}} (\frac{p}{m^{2}} + 2 q) ≧ 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \frac{p}{m^{2}} + 2 q ≧ 0, | m | ≦ \sqrt[]{\frac{p}{- 2 q}} . \end{matrix}

(3)

Ez eleve szükséges feltétel ahhoz, hogy az (1) és (2) egyidejű figyelembevételével kiszámítandó iránytangens megfelelhessen a feladat követelményének. (Egyenlőség esetén a két metszéspont egybeesik, az

y = \pm m (x - q)

egyenesek érintik a parabolát.)
Az iránytangens meghatározásában mellőzhetjük

x_{1}

és

x_{2}

kiszámítását, hiszen a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közti összefüggések alapján

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 (q + \frac{p}{m^{2}}), \end{matrix}

tehát (2) figyelembevételével

\begin{matrix} \frac{p}{m^{2}} + q = s \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} | m | = \sqrt[]{\frac{p}{s - q}} . \end{matrix}

(4)

Erre akkor teljesül (3) is, ha

s - q ≧ - 2 q

, azaz

s ≧ - q

(> 0)

, vagyis ha

O E ≧ Q O

‐ ahol

E

x

tengely és

e

közös pontja ‐, tehát ha az

e

egyenes legalább annyira van

O

-tól, mint a

Q

pont. Ha éppen

s = - q

, akkor (4) és (3) szerint éppen a két érintő felel meg a követelményeknek,

M_{1}

M_{2}

és

N

egybeesik az előírt

e

egyenesen.
2. A szelőt

N

pontjának kitűzésével szerkesztjük meg. Ordinátájának abszolút értéke:

E N = | y | = | m | \cdot (s - q) = \sqrt[]{p (s - q)} = \sqrt[]{p \cdot Q E}

. Legyen a parabola fókusza

F

‐ ez a parabolával együtt adottnak tekintendő ‐, ekkor

O F = p / 2

. Mérjük fel

E

-től

Q E

meghosszabbítására az

E G = 2 \cdot O F = p

szakaszt és messük

e

-t a

Q G

átmérőjű körrel. Ekkor a derékszögű háromszög középarányos tételei szerint a metszéspont

N

. Ezzel a megoldást befejeztük.

Megjegyzések. 1. Érdekes meglátásokra jutunk, ha a szelőt valamelyik

M_{i}

alapján próbáljuk megközelíteni, vagyis az

x_{i}

y_{i}

koordinátáin át. Az

x_{i}

abszcisszákra (1)-ből, (2) figyelembevételével

\begin{matrix} x^{2} - 2 s x + q^{2} = 0. \end{matrix}

(1a)

Szerkesztésükhöz vegyük

O

tükörképét

E

-re nézve, legyen ez

H,

akkor

O H = 2 s = x_{1} + x_{2}

, másrészt forgassuk el

Q

-t

O

körül derékszöggel a

K

pontba, vagyis

O K = | q | = \sqrt[]{x_{1} x_{2}}

. Ezek alapján az

O H

átmérő fölötti Thalész-kör és a

K

-n átmenő, az

x

-tengellyel párhuzamos egyenes

K_{1}

K_{2}

metszéspontjainak abszcisszái

x_{1}

és

x_{2}

K_{i}

létezésének feltétele ebből ismét

| q | ≦ s

.
Gondolhatnánk: már csak ez van hátra:

M_{i}

-t kimetszhetjük a parabolából a

K_{i}

-n átmenő és az

x

tengelyre merőleges

e_{i}

egyenessel. Ámde adott parabola és adott egyenes esetében metszéspontjuk ,,leolvasása'' elvileg egészen más feladat, mint pl. adott kör és adott egyenes esetében! A parabolából ‐ egyenlete alapján ‐ tetszés szerinti számú pontot szerkeszthetünk ugyan, de csak véges számút. A parabolaív csupán olyasféle összekötése pontoknak, mint egy függvénygrafikon. Annyiból talán mégis több, hogy tetszőleges ‐ most

x_{i}

‐ abszcisszájú pontját egyformán szerkeszthetjük a definíció alapján.
Legyen

F

tükörképe

O

-ra

D

, itt megy át a

d

vezéregyenes; és legyen

K_{i}

vetülete az

x

tengelyre

K'_{i}

Ekkor

M_{i}

-nek

F

-től való távolsága annyi, mint

d

-től, azaz

D K_{i}

, tehát

M_{i}

kimetszhető

e_{i}

-ből az

F

körüli

D K'_{i} = x_{i} + p / 2

sugarú körrel. ‐ Lehetne

x_{i}

alapján (ismét mértani középarányos útján) az

y_{i} = \sqrt[]{2 p x_{i}}

hosszúságot is szerkeszteni:

x_{i}

végpontjától jobbra felmérve a

2 p

szakaszt stb.
2. Mivel a

K_{i}

pontokat (1a)-ból csak

s

és

| q |

felhasználásával megszerkeszthettük, vagyis

p

felhasználása nélkül, azért ezt is mondhatjuk:

K_{i}

az adott

s

q

paraméterpárból (

s ≧ | q |

esetén) minden

p > 0

értékhez előkészíti a szerkesztést. Az adott

p

-t csak a második lépésben használjuk.