Kezdőlap


Feladat:	F.2519	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csermely Ágnes
Füzet:	1986/január, 6. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenletek, Egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Valós együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/március: F.2519

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy valamely $x > 1$ valós szám megoldása az (1) egyenletnek. Alakítsuk át egyenletünket :

\begin{matrix} 0 = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + ... + a_{n - 1} x + a_{n} & = a_{0} (x^{n} - x^{n - 1}) + \\ + (a_{0} + a_{1}) (x^{n - 1} - x^{n - 2}) + ... \\ ⋮ \\ + (a_{0} + a_{1} + ... + a_{j}) (x^{n - j} - x^{n - j - 1}) + \\ ⋮ \\ + (a_{0} + a_{1} + ... + a_{n - 1}) (x - 1) + \\ + (a_{0} + a_{1} + ... + a_{n}) . \end{matrix}

Itt az összes

a_{0} + a_{1} + ... + a_{j}

alakú összeg nem negatív, másrészt

x > 1

miatt

x^{n - j} > x^{n - j - 1}

, így

x^{n - j} - x^{n - j - 1}

pozitív. A jobb oldalon tehát minden sor nem negatív. Összegük csak úgy lehet nulla, ha minden sor nulla. Ehhez azonban az szükséges, hogy minden

a_{0} + a_{1} + ... + a_{j}

összeg nulla legyen (hiszen

x^{n - j} - x^{n - j - 1} > 0

), ami pontosan akkor teljesül, ha minden

a_{i}

nulla. Az (1) egyenletnek tehát csak akkor lehet

1

-nél nagyobb valós megoldása, ha minden

a_{i}

együttható nulla, ekkor azonban az (1) egyenlet azonosság.

Megjegyzés. Egynél jobb alsó korlát nem adható: ha

a_{0} = a_{1} = ... = a_{n - 1} = 1

és

a_{n} = - n

, akkor az (1) egyenlet

x^{n} + x^{n - 1} + ... + x - n = 0

alakú. Ennek megoldása az

x = 1

, és mivel

a_{0} + ... + a_{j} = j > 0

, ha

j ≦ n - 1

, továbbá

a_{0} + ... + a_{n} = 0

, a feladat feltételei teljesülnek.