Feladat: F.2519 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csermely Ágnes 
Füzet: 1986/január, 6. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Egyenletek, Egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Valós együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: F.2519

Igazoljuk, hogy a00, a0+a10, ..., a0+a1+...+aj0, ..., a0+a1+...+an0 esetén az
a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an=0(2)
egyenletnek nincs 1-nél nagyobb valós gyöke.

Tegyük fel, hogy valamely x>1 valós szám megoldása az (1) egyenletnek. Alakítsuk át egyenletünket :
0=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an=a0(xn-xn-1)++(a0+a1)(xn-1-xn-2)+...(a0+a1+...+a+(a0+a1+...+aj)(xn-j-xn-j-1)+(a0+a1+...+a+(a0+a1+...+an-1)(x-1)++(a0+a1+...+an).
Itt az összes a0+a1+...+aj alakú összeg nem negatív, másrészt x>1 miatt xn-j>xn-j-1, így xn-j-xn-j-1pozitív. A jobb oldalon tehát minden sor nem negatív. Összegük csak úgy lehet nulla, ha minden sor nulla. Ehhez azonban az szükséges, hogy minden a0+a1+...+aj összeg nulla legyen (hiszen xn-j-xn-j-1>0), ami pontosan akkor teljesül, ha minden ai nulla. Az (1) egyenletnek tehát csak akkor lehet 1-nél nagyobb valós megoldása, ha minden ai együttható nulla, ekkor azonban az (1) egyenlet azonosság.
 

 Csermely Ágnes (Veszprém, Lovassy L. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzés. Egynél jobb alsó korlát nem adható: ha a0=a1=...=an-1=1 és an=-n, akkor az (1) egyenlet xn+xn-1+...+x-n=0 alakú. Ennek megoldása az x=1, és mivel a0+...+aj=j>0, ha jn-1, továbbá a0+...+an=0, a feladat feltételei teljesülnek.