Feladat: F.2514 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Bodor Cs. ,  Bóna M. ,  Boros Z. ,  Csermely Ágnes ,  Deák CS. ,  Elefánty Z. ,  Fülöp T. ,  Íjjas Cs. ,  Kós G. ,  Limbek Cs. ,  Montágh B. ,  Németh-Buhin Á. ,  Olasz-Szabó M. ,  Paál Beatrix ,  Pfeil T. ,  Regős G. ,  Ribényi Á. ,  Sobor G. ,  Szigeti Z. 
Füzet: 1985/december, 446 - 448. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sorozat határértéke, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/február: F.2514

A végtelenhez tartó {an} sorozat elemei természetes számok. Bizonyítsuk be, hogy ha a
bn=a1a2...an2an
sorozat konvergens, akkor határértéke zérus!

Tegyük fel, hogy a bn sorozat határértéke B, nem nulla. Ekkor a
hn=bn+1bn
sorozatban a számláló és a nevező konvergens, és feltevésünk szerint a nevező határértéke nem 0. (Itt szükséges, hogy bn0, ami az an-re vonatkozó feltétel szerint egy indextől kezdve biztosan teljesül.) A hn sorozat tehát konvergens és határértéke a számlálóban és a nevezőben álló sorozatok határértékének a hányadosa, vagyis 1. Az an+1-an sorozatot dn-nel jelölve tehát hn=an+1/2dn, és
limnan+12dn=1.(2)

A fenti gondolatmenetet a bn helyett a hn sorozatra megismételve kapjuk, hogy
limnhnhn-1=limnan+1an2dn-12dn=1.(3)

Megmutatjuk, hogy (3) nem teljesülhet. Ehhez vizsgáljuk meg a dn és az an sorozatokat!
Mivel (2)-ben a számláló a feltétel szerint a +-hez tart, a sorozat csak úgy lehet konvergens, ha a nevező, a 2dn sorozat is a +-hez tart. Ebből következik, hogy ugyanez a dn sorozatra is teljesül, vagyis
limndn=+.(4)

Ha ez igaz, akkor dn végtelen sok n-re lesz nagyobb, mind dn-1. Mivel egész számokról van szó, a különbség ilyenkor legalább 1, vagyis (3)-ban a 2dn-12dn hányados végtelen sok a n-re legfeljebb 1/2. Így (3) biztosan nem teljesülhet, ha belátjuk, hogy a szorzat másik tényezője, az an+1an sorozat konvergens, és a határértéke 1.
Ismeretes, hogy limxx2x=0, így a (4) szerint +-hez tartó dn sorozatra ugyancsak limndn2dn=0. Ezt (2)-vel egybevetve kapjuk, hogy dn az an+1-hez képest kicsi, pontosabban
limndnan+1=0.(5)

Ha itt dn helyére beírjuk a vele egyenlő (an+1-an)-et, akkor dnan+1=1-anan+1, vagyis (5) alapján limnanan+1=1, de ekkor a (3)-beli an+1an sorozat határértéke is 1. (3) tehát valóban nem állhat fönn.
A kapott ellentmondásból következik, hogy ha a bn sorozat konvergens, akkor a határértéke valóban csak nulla lehet.
 

 Ribényi Ákos (Budapest, I. István Gimn., III. o. t.)
 dolgozata alapján