Kezdőlap


Feladat:	F.2514	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bán Rita , Bodor Cs. , Bóna M. , Boros Z. , Csermely Ágnes , Deák CS. , Elefánty Z. , Fülöp T. , Íjjas Cs. , Kós G. , Limbek Cs. , Montágh B. , Németh-Buhin Á. , Olasz-Szabó M. , Paál Beatrix , Pfeil T. , Regős G. , Ribényi Ákos , Sobor G. , Szigeti Z.
Füzet:	1985/december, 447 - 448. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/február: F.2514

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a $b_{n}$ sorozat határértéke $B,$ nem nulla. Ekkor a

\begin{matrix} h_{n} = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} \end{matrix}

sorozatban a számláló és a nevező konvergens, és feltevésünk szerint a nevező határértéke nem

0.

(Itt szükséges, hogy

b_{n} \neq 0,

ami az

a_{n}

-re vonatkozó feltétel szerint egy indextől kezdve biztosan teljesül.) A

h_{n}

sorozat tehát konvergens és határértéke a számlálóban és a nevezőben álló sorozatok határértékének a hányadosa, vagyis

1.

a_{n + 1} - a_{n}

sorozatot

d_{n}

-nel jelölve tehát

h_{n} = a_{n + 1} / 2^{d_{n}},

és

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} \frac{a_{n + 1}}{2^{d_{n}}} = 1. \end{matrix}

(2)

A fenti gondolatmenetet a

b_{n}

helyett a

h_{n}

sorozatra megismételve kapjuk, hogy

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} \frac{h_{n}}{h_{n - 1}} = {lim}_{n \to \infty}^{} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \cdot \frac{2^{d_{n - 1}}}{2^{d_{n}}} = 1. \end{matrix}

(3)

Megmutatjuk, hogy (3) nem teljesülhet. Ehhez vizsgáljuk meg a

d_{n}

és az

a_{n}

sorozatokat!
Mivel (2)-ben a számláló a feltétel szerint a

+ \infty

-hez tart, a sorozat csak úgy lehet konvergens, ha a nevező, a

2^{d_{n}}

sorozat is a

+ \infty

-hez tart. Ebből következik, hogy ugyanez a

d_{n}

sorozatra is teljesül, vagyis

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} d_{n} = + \infty . \end{matrix}

(4)

Ha ez igaz, akkor

d_{n}

végtelen sok

n

-re lesz nagyobb, mind

d_{n - 1}

. Mivel egész számokról van szó, a különbség ilyenkor legalább

1,

vagyis (3)-ban a

\frac{2^{d_{n - 1}}}{2^{d_{n}}}

hányados végtelen sok a

n

-re legfeljebb

1 / 2.

Így (3) biztosan nem teljesülhet, ha belátjuk, hogy a szorzat másik tényezője, az

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

sorozat konvergens, és a határértéke

1.

Ismeretes, hogy

{lim}_{x \to \infty}^{} \frac{x}{2^{x}} = 0,

így a (4) szerint

+ \infty

-hez tartó

d_{n}

sorozatra ugyancsak

{lim}_{n \to \infty}^{} \frac{d_{n}}{2^{d_{n}}} = 0.

Ezt (2)-vel egybevetve kapjuk, hogy

d_{n}

a_{n + 1}

-hez képest kicsi, pontosabban

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} \frac{d_{n}}{a_{n + 1}} = 0. \end{matrix}

(5)

Ha itt

d_{n}

helyére beírjuk a vele egyenlő

(a_{n + 1} - a_{n})

-et, akkor

\frac{d_{n}}{a_{n + 1}} = 1 - \frac{a_{n}}{a_{n + 1}},

vagyis (5) alapján

{lim}_{n \to \infty}^{} \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} = 1,

de ekkor a (3)-beli

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

sorozat határértéke is

1.

(3) tehát valóban nem állhat fönn.
A kapott ellentmondásból következik, hogy ha a

b_{n}

sorozat konvergens, akkor a határértéke valóban csak nulla lehet.