Feladat: F.2510 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bóna M. ,  Cynolter G. ,  Edvi T. ,  Hajdú S. ,  Limbek Cs. ,  Nyikes Z. 
Füzet: 1985/december, 444 - 445. oldal  PDF file
Témakör(ök): Vetítések, Súlyvonal, Magasságpont, Egyenesek egyenlete, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/január: F.2510

Mutassuk meg, hogy egy háromszög két súlyvonala akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha magasságpontjának a harmadik súlyvonalra eső vetülete azt 8:1 arányban osztja ketté.

Előrebocsátjuk, hogy a súlyvonalat úgy értjük, hogy a háromszög csúcsából indul és halad a szemben levő oldal felezőpontja felé. Eszerint az értelmezés szerint az állításban szereplő vetület az oldalhoz van közelebb.
Az állítást koordináta-geometriai úton bizonyítjuk az ABC háromszög CO súlyvonalára, ahol O az origó és C a (0,p) pont (p>0). Legyen még az OB szakasz hossza 1 egység, az x tengellyel bezárt szöge φ(±90). Ekkor B(cosφ,sinφ), tehát A(-cosφsinφ).
 
 

Elég lesz meghatároznunk az M magasságpont ordinátáját (második koordinátáját), ez lesz egyszersmind az M' pontnak, az állításban szereplő vetületnek az ordinátája is. Felírjuk a B és a C csúcsra illeszkedő magasságvonal egy-egy normálvektorát :
AC(cosφ,p+sinφ),ill.  OB  (cosφ,  sinφ).  

Így e két magasságvonal egyenlete abból, hogy átmegy B-n, ill. C-n:
xcosφ+y(p+sinφ)=cos2φ+psinφ+sin2φ,


és
xcosφ+ysinφ=psinφ.

Az egyenletrendszerből y=1p adódik. M' tehát a CO súlyvonalat CM':M'O=(p-1p):1p, azaz
CM':M'O=(p2-1):1(1)
arányban osztja ketté. Ez p minden megengedett értékére érvényes.
 

a) Ha mármost azt kívánjuk, hogy az A és B csúcsokból kiinduló súlyvonalak merőlegesen álljanak egymásra, vagyis az S(0,p3) súlypontnál ASB=90 legyen, akkor S rajta van az AB szakasz Thalész-körén, tehát OS=OB=1, vagyis p=3. Ekkor (1)-ben p2-1=8, tehát M' a C-ből kiinduló súlyvonalat 8:1 arányban osztja ketté, az állításbeli feltétel szükséges.
 

b) Induljunk ki most abból, hogy M' a CO súlyvonalat 8:1 arányban osztja ketté. Ekkor M' második koordinátája 19p. Ugyanez a koordináta, amint azt megállapítottuk, 1p. Ebből következik ‐ mivel p pozitív, ‐ hogy p=3. A háromszög súlypontja ekkor S(0,1). Ez rajta van az AB oldal Thalész-körén, és nem esik egybe sem A-val, sem B-vel, ezért az SA,SB egyenesek merőlegesek egymásra. A feltétel tehát elegendő is. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
 

 Edvi Tibor (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., IV. o. t.)
 
Megjegyzés. Figyeljünk fel arra, milyen ügyesen helyezte bele a megoldás az alakzatot a koordináta-rendszerbe ! Elkerülte ezt a csábítást : origónak venni S-et és a tengelyekre tenni az A,B csúcsokat, ami pedig a megfordításhoz már nem alkalmas.Ezenkívül (1)-ben ‐ nyelvtanilag ‐ csak az alany szerepel, az M' pont osztásaránya. Ezért lehetett oda-vissza felhasználni (1)-et.