Kezdőlap


Feladat:	F.2510	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bóna M. , Cynolter G. , Edvi T. , Hajdú S. , Limbek Cs. , Nyikes Z.
Füzet:	1985/december, 444 - 445. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Súlyvonal, Magasságpont, Egyenesek egyenlete, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/január: F.2510

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Előrebocsátjuk, hogy a súlyvonalat úgy értjük, hogy a háromszög csúcsából indul és halad a szemben levő oldal felezőpontja felé. Eszerint az értelmezés szerint az állításban szereplő vetület az oldalhoz van közelebb.
Az állítást koordináta-geometriai úton bizonyítjuk az $A B C$ háromszög $C O$ súlyvonalára, ahol $O$ az origó és $C$ a $(0, p)$ pont $(p > 0) .$ Legyen még az $O B$ szakasz hossza $1$ egység, az $x$ tengellyel bezárt szöge $φ (\neq \pm 90^{\circ}) .$ Ekkor $B (cos φ, sin φ),$ tehát $A (- cos φ, - sin φ) .$

Elég lesz meghatároznunk az

M

magasságpont ordinátáját (második koordinátáját), ez lesz egyszersmind az

M'

pontnak, az állításban szereplő vetületnek az ordinátája is. Felírjuk a

B

és a

C

csúcsra illeszkedő magasságvonal egy-egy normálvektorát :

\begin{matrix} \vec{A C} (cos φ, p + sin φ), ill.\vec{O B}(cosφ,sinφ). \end{matrix}

Így e két magasságvonal egyenlete abból, hogy átmegy

B

-n, ill.

C

-n:

\begin{matrix} x \cdot cos φ + y (p + sin φ) = \\ cos^{2} φ + p sin φ + s i n^{2} φ, \end{matrix}

és

\begin{matrix} x \cdot cos φ + y \cdot sin φ = p \cdot sin φ . \end{matrix}

Az egyenletrendszerből

y = \frac{1}{p}

adódik.

M'

tehát a

C O

súlyvonalat

C M' : M' O = (p - \frac{1}{p}) : \frac{1}{p},

azaz

\begin{matrix} C M' : M' O = (p^{2} - 1) : 1 \end{matrix}

(1)

arányban osztja ketté. Ez

p

minden megengedett értékére érvényes.

a) Ha mármost azt kívánjuk, hogy az

A

és

B

csúcsokból kiinduló súlyvonalak merőlegesen álljanak egymásra, vagyis az

S (0, \frac{p}{3})

súlypontnál

A S B ∢ = 90^{\circ}

legyen, akkor

S

rajta van az

A B

szakasz Thalész-körén, tehát

O S = O B = 1,

vagyis

p = 3.

Ekkor (1)-ben

p^{2} - 1 = 8,

tehát

M'

C

-ből kiinduló súlyvonalat

8 : 1

arányban osztja ketté, az állításbeli feltétel szükséges.

b) Induljunk ki most abból, hogy

M'

C O

súlyvonalat

8 : 1

arányban osztja ketté. Ekkor

M'

második koordinátája

\frac{1}{9} p

. Ugyanez a koordináta, amint azt megállapítottuk,

\frac{1}{p} .

Ebből következik ‐ mivel

p

pozitív, ‐ hogy

p = 3.

A háromszög súlypontja ekkor

S (0, 1) .

Ez rajta van az

A B

oldal Thalész-körén, és nem esik egybe sem

A

-val, sem

B

-vel, ezért az

S A

S B

egyenesek merőlegesek egymásra. A feltétel tehát elegendő is. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Megjegyzés. Figyeljünk fel arra, milyen ügyesen helyezte bele a megoldás az alakzatot a koordináta-rendszerbe ! Elkerülte ezt a csábítást : origónak venni

S

-et és a tengelyekre tenni az

A

B

csúcsokat, ami pedig a megfordításhoz már nem alkalmas.Ezenkívül (1)-ben ‐ nyelvtanilag ‐ csak az alany szerepel, az

M'

pont osztásaránya. Ezért lehetett oda-vissza felhasználni (1)-et.