Feladat: F.2478 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bujdosó László 
Füzet: 1985/március, 109 - 110. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú diofantikus egyenletek, Legnagyobb közös osztó, Egységtörtes felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/május: F.2478

Az x,y,z pozitív egész számok legnagyobb közös osztója 1, továbbá
1x+1y=1z. Bizonyítsuk be, hogy x+y négyzetszám.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletet rendezve kapjuk, hogy

z2=(x-z)(y-z).
Ha a d pozitív egész osztója (x-z)-nek és (y-z)-nek is, akkor z2 osztható d2-tel, tehát z osztható d-vel. De akkor x=(x-z)+z és y=(y-z)+z alapján d az x,y és z számok mindegyikének osztója, így a feladat feltétele szerint csak 1 lehet. Tehát (x-z)-nek és (y-z)-nek nincs 1-nél nagyobb közös osztója, azaz relatív prímek. Ezért és mert a szorzatuk négyzetszám, mindkettő külön-külön négyzetszám, vagyis alkalmas k és l egészekre x-z=k2,y-z=l2, és az átrendezett egyenlet alapján z=kl.
Innen az állítás már könnyen adódik, ugyanis
x+y=(x-z)+(y-z)+2z=k2+l2+2kl=(k+l)2,
vagyis x+y valóban négyzetszám.

 

Megjegyzés. A fenti gondolatmenet egyúttal megadja az 1/x+1/y=1/z diofantikus egyenlet összes olyan megoldását is, melyben (x,y,z)=1; x=k2+kl, y=l2+kl, z=kl, ahol k és l olyan egészek, amelyekre xyz0.