|
Feladat: |
F.2440 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Alexy N. , Bán Rita , Baumgartner Z. , Boros 966 Z. , Bujdosó 419 L. , Bujdosó Mónika , Cynolter B. , Erdős L. , Fülöp T. , Gálicz Éva , Gáspár L. , Giba P. , Grőbler T. , Hajdú S. Z. , Hegedűs P. , Hetyei Judit , Horváth A. , Horváth B. , Ilosvay F. , Jenei József , Kánnár J. , Kántor E. , Karácsony P. , Kerner Anna , Kónya Eszter , Ladányi L. , Limbek Cs. , Marton Ágota , Megyesi G. , Mócsy M. , Oláh A. , Paál Beatrix , Pintér A. , Ribényi Á. , Sárközy G. , Simon Gy. , Simon P. , Somogyi 196 A. , Szabó Sz. , Varga K. , Varsányi L. , Zagyva Natália |
Füzet: |
1984/május,
206 - 207. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Koszinusztétel alkalmazása, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1983/november: F.2440 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a háromszög csúcsait rendre -vel. Először megmutatjuk, hogy ha , akkor . Legyen az oldal és az szög oldalhoz közelebbi harmadolójának metszéspontja . Ekkor , , így és . Az háromszögben a koszinusztétel alapján: | | Ezért
Az háromszögben ugyancsak a koszinusztétel szerint:
| | így Behelyettesítve (1) -et, kapjuk, hogy ahonnan miatt valóban fennáll, hogy Másodszor megmutatjuk, hogy ha a (2) összefüggés teljesül, akkor . Szintén a koszinusztétel alapján | | másrészt (2) miatt Ezekből | | (3) | Legyen az oldal azon pontja, melyre . Ekkor az háromszögben (3) szerint | |
Mivel és , azért . Ebből következik, hogy , és végül , az állításnak megfelelően.
Megjegyzés. Sokan a feladat állítását csak az egyik irányban látták be, illetve (tévesen) azt állították, hogy okoskodásuk megfordítható. Ezek a megoldók 1 pontot kaptak.
|
|