Kezdőlap


Feladat:	F.2440	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alexy N. , Bán Rita , Baumgartner Z. , Boros 966 Z. , Bujdosó 419 L. , Bujdosó Mónika , Cynolter B. , Erdős L. , Fülöp T. , Gálicz Éva , Gáspár L. , Giba P. , Grőbler T. , Hajdú S. Z. , Hegedűs P. , Hetyei Judit , Horváth A. , Horváth B. , Ilosvay F. , Jenei József , Kánnár J. , Kántor E. , Karácsony P. , Kerner Anna , Kónya Eszter , Ladányi L. , Limbek Cs. , Marton Ágota , Megyesi G. , Mócsy M. , Oláh A. , Paál Beatrix , Pintér A. , Ribényi Á. , Sárközy G. , Simon Gy. , Simon P. , Somogyi 196 A. , Szabó Sz. , Varga K. , Varsányi L. , Zagyva Natália
Füzet:	1984/május, 206 - 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koszinusztétel alkalmazása, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/november: F.2440

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög csúcsait rendre $A, B, C$ -vel. Először megmutatjuk, hogy ha $α = 3 β$ , akkor $c = (a - b) \sqrt[]{1 + \frac{a}{b}}$ . Legyen az $a$ oldal és az $α$ szög $c$ oldalhoz közelebbi harmadolójának metszéspontja $P$ . Ekkor $P A B ∢ = P B A ∢ = β$ , $C A P ∢ = C P A ∢ = 2 β$ , így $C A = C P = b$ és $P A = P B = a - b$ . Az $A P C$ háromszögben a koszinusztétel alapján:

\begin{matrix} b^{2} = b^{2} + {(a - b)}^{2} - 2 b (a - b) cos 2 β . \end{matrix}

Ezért

\begin{matrix} 2 cos 2 β = \frac{a}{b} - 1. \end{matrix}

(1)

A P B

háromszögben ugyancsak a koszinusztétel szerint:

\begin{matrix} c^{2} = 2 {(a - b)}^{2} - 2 {(a - b)}^{2} cos (180^{\circ} - 2 β), \end{matrix}

így

\begin{matrix} c^{2} = {(a - b)}^{2} (2 + 2 cos 2 β) . \end{matrix}

Behelyettesítve (1) -et, kapjuk, hogy

\begin{matrix} c^{2} = {(a - b)}^{2} (1 + \frac{a}{b}), \end{matrix}

ahonnan

a > b

miatt valóban fennáll, hogy

\begin{matrix} c = (a - b) \sqrt[]{1 + \frac{a}{b}} . \end{matrix}

(2)

Másodszor megmutatjuk, hogy ha a (2) összefüggés teljesül, akkor

α = 3 β

. Szintén a koszinusztétel alapján

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos γ = {(a - b)}^{2} + 2 a b (1 - cos γ), \end{matrix}

másrészt (2) miatt

\begin{matrix} c^{2} = {(a - b)}^{2} + {(a - b)}^{2} \frac{a}{b} . \end{matrix}

Ezekből

\begin{matrix} 2 (1 - cos γ) = \frac{1}{a b} {(a - b)}^{2} \frac{a}{b} = {(\frac{a - b}{b})}^{2} . \end{matrix}

(3)

Legyen

P

a

oldal azon pontja, melyre

C P = b

. Ekkor az

A C P

háromszögben (3) szerint

\begin{matrix} A P^{2} = b^{2} + b^{2} - 2 b^{2} cos γ = 2 b^{2} (1 - cos γ) = {(a - b)}^{2} . \end{matrix}

Mivel

A P > 0

és

a - b > 0

, azért

A P = a - b = P B

. Ebből következik, hogy

P A B ∢ = P B A ∢ = β, C A P ∢ =

C P A ∢ = P A B ∢ = P B A ∢ = 2 β

, és végül

α = C A P ∢ + P A B ∢ = 3 β

, az állításnak megfelelően.

Megjegyzés. Sokan a feladat állítását csak az egyik irányban látták be, illetve (tévesen) azt állították, hogy okoskodásuk megfordítható. Ezek a megoldók 1 pontot kaptak.