Feladat: F.2440 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alexy N. ,  Bán Rita ,  Baumgartner Z. ,  Boros 966 Z. ,  Bujdosó 419 L. ,  Bujdosó Mónika ,  Cynolter B. ,  Erdős L. ,  Fülöp T. ,  Gálicz Éva ,  Gáspár L. ,  Giba P. ,  Grőbler T. ,  Hajdú S. Z. ,  Hegedűs P. ,  Hetyei Judit ,  Horváth A. ,  Horváth B. ,  Ilosvay F. ,  Jenei József ,  Kánnár J. ,  Kántor E. ,  Karácsony P. ,  Kerner Anna ,  Kónya Eszter ,  Ladányi L. ,  Limbek Cs. ,  Marton Ágota ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Oláh A. ,  Paál Beatrix ,  Pintér A. ,  Ribényi Á. ,  Sárközy G. ,  Simon Gy. ,  Simon P. ,  Somogyi 196 A. ,  Szabó Sz. ,  Varga K. ,  Varsányi L. ,  Zagyva Natália 
Füzet: 1984/május, 206 - 207. oldal  PDF file
Témakör(ök): Koszinusztétel alkalmazása, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/november: F.2440

Egy háromszög oldalai a, b, c, a velük szemközti szögek rendre α, β, γ. Bizonyítsuk be, hogy α=3β pontosan akkor teljesül, ha c=(a-b)1+ab.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög csúcsait rendre A,B,C-vel. Először megmutatjuk, hogy ha α=3β, akkor c=(a-b)1+ab. Legyen az a oldal és az α szög c oldalhoz közelebbi harmadolójának metszéspontja P. Ekkor PAB=PBA=β, CAP=CPA=2β, így CA=CP=b és PA=PB=a-b. Az APC háromszögben a koszinusztétel alapján:

b2=b2+(a-b)2-2b(a-b)cos2β.
Ezért
2cos2β=ab-1.(1)

 
 

Az APB háromszögben ugyancsak a koszinusztétel szerint:
c2=2(a-b)2-2(a-b)2cos(180-2β),
így
c2=(a-b)2(2+2cos2β).

Behelyettesítve (1) -et, kapjuk, hogy
c2=(a-b)2(1+ab),
ahonnan a>b miatt valóban fennáll, hogy
c=(a-b)1+ab.(2)

Másodszor megmutatjuk, hogy ha a (2) összefüggés teljesül, akkor α=3β. Szintén a koszinusztétel alapján
c2=a2+b2-2abcosγ=(a-b)2+2ab(1-cosγ),
másrészt (2) miatt
c2=(a-b)2+(a-b)2ab.
Ezekből
2(1-cosγ)=1ab(a-b)2ab=(a-bb)2.(3)
Legyen P az a oldal azon pontja, melyre CP=b. Ekkor az ACP háromszögben (3) szerint
AP2=b2+b2-2b2cosγ=2b2(1-cosγ)=(a-b)2.

Mivel AP>0 és a-b>0, azért AP=a-b=PB. Ebből következik, hogy PAB=PBA=β,CAP= CPA=PAB=PBA=2β, és végül α=CAP+PAB=3β, az állításnak megfelelően.
 

Megjegyzés. Sokan a feladat állítását csak az egyik irányban látták be, illetve (tévesen) azt állították, hogy okoskodásuk megfordítható. Ezek a megoldók 1 pontot kaptak.