Feladat: F.2433 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alexy N. ,  Argay Gy. ,  Bán Rita ,  Bujdosó 419 L. ,  Cynolter B. ,  Cynolter G. ,  Dobos Borbála ,  Fülöp T. ,  Giba P. ,  Hraskó A. ,  Ilosvay F. ,  Ispány Márton ,  Karácsony P. ,  Kovács 111 S. ,  Ladányi L. ,  Limbek Cs. ,  Mócsy M. ,  Németh-Buhin Á. ,  Paál Beatrix ,  Pintér A. ,  Prokaj V. ,  Sáhi A. ,  Selyem I. ,  Simon P. ,  Szabó 112 T. ,  Szabó 741 Z. ,  Szabó Sz. ,  Szakállas Gy. ,  Szalay Gy. ,  Szeier T. ,  Varga 610 J. 
Füzet: 1984/január, 14 - 16. oldal  PDF file
Témakör(ök): Terület, felszín, Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/szeptember: F.2433

Tekintsük tetszőleges konvex poliéderre a κ=V2/F3 számot, ahol V a poliéder térfogata, F a felszíne. Hogyan változik ez a szám, amint végighaladunk a következő 5 poliéderen:
1. az ABCD szabályos tetraéder;
2. levágjuk ebből az AA1A2A3 tetraédert, ahol A1A2A3 rendre az ABACAD élnek az a pontja, amelyre AA1/AB=AA2/AC=AA3/AD=λ1/2;
3 ‐ 5. egymás után levágjuk a maradékból a hasonlóan értelmezett BB1B2B3, majd a CC1C2C3, végül a DD1D2D3 tetraédert?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az ABCD tetraéder éleinek hosszát a-val. A tetraéder térfogata V1=a3212 , felszíne F1=a23 , ezért

κ1=V12F13=3648.
Az ABCD tetraéderből levágandó tetraéderek szintén szabályosak, hiszen minden lapjuk egyenlő oldalú háromszög; az oldalak hossza λa. A poliéderek térfogata minden levágáskor a3212λ3-nel csökken, vagyis
Vn=V[1-(n-1)λ3](n=2,3,4,5).
( Mivel λ12, a levágandó tetraéderek nem nyúlnak egymásba, legfeljebb páronként egy közös csúcsuk lehet.)
 
 

A poliéder felületéből minden levágáskor három aλ oldalú szabályos háromszöget kell eltávolítanunk, majd egy ugyanilyen háromszöget hozzá kell raknunk, mivel a levágott tetraédernek egyik lapja a csonkítandó test belsejében volt, levágás után viszont ez a lap is része az új test felületének. A poliéderek felszíne tehát minden levágáskor a232λ2 -nel csökken, ezért
Fn=F1[1-(n-1)λ22](n=2,3,4,5.)
Ezek szerint a κ számok további értékei:
κn=(1-(n-1)λ3)2(1-(n-1)λ22)3κ1
( n=2,3,4,5, a képlet n=1-re is igaz.)
Belátjuk, hogy rögzített 0<λ12 érték mellett n növekedtével κn nő.
Segítségül vesszük folytonosan változó x esetére az
f(x)=(1-λ3x)2(1-λ22x)3
függvényt, amely az x=0, 1, 2, 3, 4 egész értékek mellett rendre a κ1, κ2, κ3, κ4, κ5 értéket veszi fel és f(0)=1. Belátjuk, hogy f(x) a 0x4 intervallumban szigorúan monoton növekvő, ugyanis deriváltja állandóan pozitív. (A nevező az x=2λ2 helyen válik zérussá, ez azonban kívül esik a vizsgálni kívánt intervallumon, mivel 2/λ28; mindjárt említjük a számláló zérushelyét is: x=1/λ38.) Ezekből következik, hogy a kiragadott egész x-ek mellett is teljesül:
κ1<κ2<κ3<κ4<κ5.
Áttérünk a szokásos jelölésekre, legyen
u(x)=(1-λ3x)2,v(x)=(1-λ22x)3.
Az ismert deriválási szabályok szerint

f'(x)=(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)v2(x)==1(1-λ22x)6(-2λ3(1-λ3x)(1-λ22x)3+32λ2(1-λ3x)2(1-λ22x)2)==λ221-λ3x(1-λ22x)4(-4λ(1-λ22x)+3(1-λ3x)),
és itt mind a három tényező pozitív a [0;4] intervallumban; a nagy zárójel:
3-4λ-λ3x1-x8>0.

Evvel bebizonyítottuk állításunkat.
Az is belátható, hogy rögzített n esetén κn értéke növekszik, ha λ értéké a megadott határokon belül nő, a feladat kérdése azonban nem erre vonatkozott.
 
Megjegyzés. Emlékeztetjük az olvasót a konvex síkidomok izoperimetrikus hányadosára, t/p2-re (F. 2395. feladat, KöMaL 1983. szept. szám, 11. oldal). Itt a konvex testek ugyanilyenféle jellemző számáról van szó. Ott t1 és p2 kitevője ‐ fölcserélve ‐ abból adódik, hogy a terület 2 dimenziós méret, a kerület (hosszúság) 1 dimenziós. Itt pedig F és V dimenziószáma 2, ill. 3. Ezekből t/p2 és V2/F3 dimenziója egyaránt 0, ami azt jelenti, hogy a hányados nem függ az egységek megválasztásától, ha V és F egységét ugyanabból a hosszegységből származtatjuk.
Konvex síkidomokra t/p2 legnagyobb értéke 1/4π, a körre; a konvex testeknél pedig κ a gömbre a legnagyobb: 1/36π. Ez az ún. izoperimetrikus probléma. (Kockára 1/216, négyzetre t/p2=1/16. )
Eredményünket szemléletesen így fejezhetjük ki: az egymás után 1, 2, 3, 4 tetraéder levágásával kapott testek lépésről lépésre haladnak a ,,gömbszerűség'' felé. λ=1/2 esetén a negyedik levágás eredménye szabályos oktaéder.