Feladat: F.2430 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Bóna Miklós ,  Boros T. ,  Bujdosó L. ,  Csillag P. ,  Edvi T. ,  Erdős L. ,  Fáth G. ,  Füst Ágnes ,  Gáspár Zsuzsanna ,  Gyulánszki Zs. ,  Hajdú S. Z. ,  Hetyei Judit ,  Horváth A. ,  Hraskó A. ,  Ispány Márton ,  Jedlovszky P. ,  Jurusits M. ,  Kaiser A. ,  Kalocsai T. ,  Karácsony P. ,  Katona Gy. ,  Kerner Anna ,  Komorovicz J. ,  Kovács 111 S. ,  Kovács 829 T. ,  Köpösdi P. ,  Ladányi L. ,  Limbek Cs. ,  Link P. ,  Magyar Á. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Németh-Buhin Á. ,  Pataki A. ,  Pelles T. ,  Pintér A. ,  Princz Katalin ,  Prokaj V. ,  Ribényi Á. ,  Sasvári Cs. ,  Simon Gy. ,  Simon P. ,  Strausz Gy. ,  Szabó 112 T. ,  Szabó 529 G. ,  Szabó 741 Z. ,  Szabó Sz. ,  Szalay Gy. 
Füzet: 1984/január, 11 - 12. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Terület, felszín, Feladat, Ponthalmazok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/szeptember: F.2430

Adott az egyenesen néhány szakasz. Közülük bármely háromhoz található két pont úgy, hogy a három szakasz mindegyike legalább az egyiket tartalmazza. Bizonyítsuk be, hogy ekkor található két olyan pont is, hogy mindegyik szakasz legalább az egyiket tartalmazza.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két megfelelő pont megadásával bizonyítjuk az állítást. Gondoljuk az egyenest ,,vízszintes'' helyzetűnek, és nevezzük a szakaszok bal oldali határpontját kezdőpontnak, a jobb oldalit végpontnak. Ezután tekintsük balról jobbra haladva az első szakaszvégpontot és az utolsó szakaszkezdőpontot. Azt állítjuk, hogy ez a két pont megfelel a feladat feltételének, azaz bármely szakasz tartalmazza legalább az egyiket.
Ez így van, hiszen ha lenne olyan k szakasz, amelyik egyiket sem tartalmazza, az ‐ a két pont megválasztásából adódóan ‐ csak a két pont között húzódhatna. De akkor az elsőként végződő, az utolsóként kezdődő és a k szakaszra nem teljesülne a feladat feltétele, ami ellentmondást jelentene. Ezzel a feladatot megoldottuk.

 
Megjegyzések. 1. Ugyancsak két megfelelő pont az első szakaszvégpont és az első olyan szakaszvégpont, amelyhez tartozó szakasz ezen előbbit nem tartalmazza.
2. Többen megjegyezték, hogy a feladat lényegében azonos a következő Kürschák versenyfeladattal*: ,,Egy könyvtárban egy napon több olvasó fordul meg, s mindegyikük csak egyszer jár aznap a könyvtárban. Bármely három olvasó között van két olyan, aki a könyvtárban találkozik egymással. Bizonyítandó, hogy akkor meg lehet adni két időpillanatot úgy, hogy bármely olvasó a két időpillanatnak legalább egyikében a könyvtárban van.''

*1950. évi Kürschák József matematikai versenyfeladat. KöMaL III. Évfolyam 2. oldal (1951. május).