Kezdőlap


Feladat:	F.2425	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bán Rita , Böröczky L. , Csillag P. , Danyi P. , Drávucz Marinna , Erdős 228 L. , Furka T. , Gulyás Éva , Hajós Zsuzsanna , Hegedűs P. , Hetyei G. , Horváth A. , Hraskó A. , Ilosvay F. , Ispány Márton , Juhász 002 Cs. , Katona Gy. , Kós G. , Kovács 829 T. , Kruzslicz F. , Megyesi G. , Mócsy M. , Ribényi Á. , S. Fülöp T. , Scharle A. , Simon P. , Szabó 112 T. , Törőcsik J. , Váradi Györgyi , Varga K. , Vindics I. , Zsigri G.
Füzet:	1983/december, 202 - 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Hossz, kerület, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/május: F.2425

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $P A' = a_{1}, P B' = b_{1}, P C' = c_{1}$ és $\frac{a}{a_{1}} + \frac{b}{b_{1}} + \frac{c}{c_{1}} = S .$ A háromszög területe: $T = \frac{1}{2} (a a_{1} + b b_{1} + c c_{1}) .$

Számoljuk ki a

2 T S

szorzat értékét:

\begin{matrix} (\frac{a}{a_{1}} + \frac{b}{b_{1}} + \frac{c}{c_{1}}) \cdot (a a_{1} + b b_{1} + c c_{1}) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + a b (\frac{a_{1}}{b_{1}} + \frac{b_{1}}{a_{1}}) + a c (\frac{a_{1}}{c_{1}} + \frac{c_{1}}{a_{1}}) + b c (\frac{b_{1}}{c_{1}} + \frac{c_{1}}{b_{1}}) . \end{matrix}

Alkalmazzuk az

\frac{x}{y} + \frac{y}{x} ≧ 2

egyenlőtlenséget

(x, y > 0),

egyenlőség csak

x = y

esetén teljesül:

\begin{matrix} 2 T S ≧ a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + a c + b c) = {(a + b + c)}^{2} = K^{2} . \end{matrix}

A jobb oldal állandó: a kerület négyzete. Így

S ≧ \frac{K^{2}}{2 T},

és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha

a_{1} = b_{1} = c_{1} .

S

kifejezés értéke tehát akkor a legkisebb, ha

P

egyenlő távol van mindhárom oldaltól - azaz ha

P

egybeesik a beírt kör középpontjával.

Bán Rita (Szeged, Radnóti M. Gimn., II. o. t.)