Feladat: F.2425 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Böröczky L. ,  Csillag P. ,  Danyi P. ,  Drávucz Marinna ,  Erdős 228 L. ,  Furka T. ,  Gulyás Éva ,  Hajós Zsuzsanna ,  Hegedűs P. ,  Hetyei G. ,  Horváth A. ,  Hraskó A. ,  Ilosvay F. ,  Ispány Márton ,  Juhász 002 Cs. ,  Katona Gy. ,  Kós G. ,  Kovács 829 T. ,  Kruzslicz F. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Ribényi Á. ,  S. Fülöp T. ,  Scharle A. ,  Simon P. ,  Szabó 112 T. ,  Törőcsik J. ,  Váradi Györgyi ,  Varga K. ,  Vindics I. ,  Zsigri G. 
Füzet: 1983/december, 202 - 203. oldal  PDF file
Témakör(ök): ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Hossz, kerület, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/május: F.2425

Az ABC háromszög belsejében tetszőlegesen felvett P pontnak a BC,CA,AB oldalegyenesen levő merőleges vetülete rendre A',B',C'. A P-nek mely helyzetében lesz legkisebb a következő kifejezés értéke:
BCPA'+CAPB'+ABPC'.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen PA'=a1,PB'=b1,PC'=c1 és aa1+bb1+cc1=S. A háromszög területe: T=12(aa1+bb1+cc1).

Számoljuk ki a 2TS szorzat értékét:
(aa1+bb1+cc1)(aa1+bb1+cc1)=a2+b2+c2+ab(a1b1+b1a1)+ac(a1c1+c1a1)+bc(b1c1+c1b1).
Alkalmazzuk az xy+yx2 egyenlőtlenséget (x,y>0), egyenlőség csak x=y esetén teljesül:
2TSa2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=(a+b+c)2=K2.
A jobb oldal állandó: a kerület négyzete. Így SK22T, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a1=b1=c1. Az S kifejezés értéke tehát akkor a legkisebb, ha P egyenlő távol van mindhárom oldaltól - azaz ha P egybeesik a beírt kör középpontjával.
 
 Bán Rita (Szeged, Radnóti M. Gimn., II. o. t.)