Feladat: F.2423 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alexy N. ,  Badics T. ,  Bán Rita ,  Böröczky L. ,  Csillag P. ,  Danyi P. ,  Erdős 228 L. ,  Gönczy A. ,  Hetyei G. ,  Horváth 713 Z. ,  Horváth A. ,  Hraskó A. ,  Ilosvay F. ,  Ispány Márton ,  Katona Gy. ,  Kovács 829 T. ,  Kruzslicz F. ,  Megyesi G. ,  Melis Z. ,  Mócsy M. ,  S. Fülöp T. ,  Simon P. ,  Szederkényi Edit ,  Szöllősi Gabriella ,  Törőcsik J. ,  Vindics I. 
Füzet: 1983/november, 132. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/május: F.2423

Mutassuk meg, hogy minden p1 természetes számhoz található olyan k0 szám, hogy minden k>k0 természetes számra
[(k+k+1+...+k+p)2]=12(p+1)2(2k+p)-1.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

[(k+k+1+...+k+p)2]=12(p+1)2(2k+p)-1.(1)
Megoldás. Először is jegyezzük meg, hogy (1) jobb oldalán egész szám áll, hiszen vagy p+1 vagy 2k+p mindenképpen páros. Egyenlőségünk tehát a következő egyenlőtlenség‐párral ekvivalens:
12(p+1)2(2k+p)-1(k+k+1+...+k+p)2<12(p+1)2(2k+p).(2)
Tekintsük először (2) jobb oldali egyenlőtlenségét. Gyököt vonva és (p+1)-gyel osztva a
k+k+1+...+k+pp+1<2k+p2
összefüggésre jutunk, ami a k, k+1, ..., k+p számok számtani és négyzetes közepe közti egyenlőtlenség alapján mindig teljesül. (p1 miatt a számok különbözők és így egyenlőség nem állhat fenn.)
Foglalkozzunk most (2) bal oldali egyenlőtlenségével. Először megmutatjuk, hogy minden 0ip-re
k+k+pk+i+k+p-i.
Valóban, négyzetre emelve és rendezve
k+(k+p)(k+i)+(k+p-i)=k(k+p)+i(p-i)
ami i(p-i)0 miatt teljesül. Ennek alapján
(p+12(k+k+p))2<(k+k+1+...+k+p)2.(3)

Azt fogjuk megmutatni, hogy létezik olyan k0, hogy minden k>k0-ra
12(p+1)2(2k+p)-1(p+12k+k+p)2.(4)
Ebből (3) alapján (2) bal oldali egyenlőtlensége azonnal adódik. (4) mindkét oldalát (p+1)2/2-vel osztva, a négyzetre emelést elvégezve és rendezve
2(p+1)2k+p2-k(k+p)=14p2k+p2+k(k+p).
Ez elég nagy k-ra teljesül, hiszen a jobb oldal k növekedésével 0-hoz tart.
Így a feladat állítását igazoltuk.