Kezdőlap


Feladat:	F.2421	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alexy N. , Böröczky L. , Csillag P. , Erdős L. , Fáth G. S. , Fazekas G. , Fülöp T. , Gulyás Éva , Hetyei G. , Horváth A. , Horváth B. , Kovács J. S. , Kovalcsik I. , Ladányi L. , Megyesi G. , Mócsy M. , Nyikes P. , Pásztor L. , Reményi L. , Réz András , Scharle A. , Simon P. , Szabó Cs. , Szapudi I. , Törőcsik J. , Varga K.
Füzet:	1983/november, 130 - 131. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszög alapú gúlák, Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/április: F.2421

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Húzzuk meg az $E$ ponton keresztül az $A B$ -vel párhuzamos egyenest, legyen ez $e$ ; ekkor persze e a $C D$ -vel is párhuzamos. Az $e$ egyenes tehát benne van az $A B E$ és $C D E$ síkokban is, vagyis éppen ezek metszésvonala $B A_{1}$ az $A B E$ síkban, $C D_{1}$ a $C D E$ síkban fekszik, tehát ezek $M$ metszéspontja az $A B E$ és $C D E$ síkok metszésvonalán van, vagyis az $e$ egyenes éppen az $E M$ egyenese. Ezek szerint $E M ∥ A B$ .

Jelöljük

B'

-vel a

B

pont

A

-ra vonatkozó tükörképét,

C'

-vel pedig a

C

pont

D

-re vonatkozó tükörképét. Ekkor

B' B = C' C = 2 A B = E M

, tehát a

B' C' M

és a

B C E

síkok párhuzamosak. Ebből következik, hogy az

M B C E

és a

B' B C E

tetraéderek térfogata megegyezik:

\begin{matrix} V_{M B C E} = V_{B' B C E} . \end{matrix}

(1)

Látszik, hogy a

B' B C

háromszög és az

A B C D

téglalap területe egyenlő, tehát a

B' B C E

tetraéder és az

A B C D E

gúla térfogata megegyezik:

\begin{matrix} V_{B' B C E} = V_{A B C D E} = 1. \end{matrix}

(2)

A B A_{1}

és

E M A_{1}

háromszögek hasonlók, mert a megfelelő oldalak párhuzamosak vagy egybeesnek. Ebből következik, hogy

A_{1} M = 2 A_{1} B

(mivel

E M = 2 A B

a feladat szerint), vagyis

A_{1} M = \frac{2}{3} M B

. Ugyanígy kapjuk, hogy

M D_{1} = \frac{2}{3} M C

. Ezek szerint az

M A_{1} D_{1}

és az

M B C

háromszögek hasonlók,

M A_{1} D_{1}

-et az

M B C

háromszög

M

centrumból történő 2/3 arányú kicsinyítésével kapjuk. A területek aránya a lineáris méretek arányának négyzete:

\begin{matrix} T_{M A_{1} D_{1}} = \frac{4}{9} T_{M B C} . \end{matrix}

Ebből rögtön adódik, hogy az

E M A_{1} D_{1}

tetraéder térfogata az

E M B C

tetraéder térfogatának 4/9-e:

\begin{matrix} V_{E M A_{1} D_{1}} = \frac{4}{9} V_{E M B C} . \end{matrix}

(3)

Az (1), (2) és (3) egyenleteket összevetve azt találjuk, hogy az

E M A_{1} D_{1}

tetraéder térfogata 4/9 térfogategység.

Réz András (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés Nem használtuk ki, hogy az

A B C D

négyszög derékszögű, csak azt, hogy paralelogramma, sőt még azt sem, hogy

E A = E C

és

E B = E D

volna.