Feladat: F.2421 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alexy N. ,  Böröczky L. ,  Csillag P. ,  Erdős L. ,  Fáth G. S. ,  Fazekas G. ,  Fülöp T. ,  Gulyás Éva ,  Hetyei G. ,  Horváth A. ,  Horváth B. ,  Kovács J. S. ,  Kovalcsik I. ,  Ladányi L. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Nyikes P. ,  Pásztor L. ,  Reményi L. ,  Réz András ,  Scharle A. ,  Simon P. ,  Szabó Cs. ,  Szapudi I. ,  Törőcsik J. ,  Varga K. 
Füzet: 1983/november, 130 - 131. oldal  PDF file
Témakör(ök): Négyszög alapú gúlák, Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/április: F.2421

Az egyenlő oldalélű, egységnyi térfogatú ABCDE gúla alapja az ABCD téglalap. A gúlát elmetsszük egy, a BC élen átmenő síkkal, a metszetidom az EA, ED oldaléleket az A1, ill. D1 pontban metszi. A BA1 és CD1 egyenesek metszéspontja M. Mekkora az EMA1D1 tetraéder térfogata, ha EM=2AB?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Húzzuk meg az E ponton keresztül az AB-vel párhuzamos egyenest, legyen ez e; ekkor persze e a CD-vel is párhuzamos. Az e egyenes tehát benne van az ABE és CDE síkokban is, vagyis éppen ezek metszésvonala BA1 az ABE síkban, CD1 a CDE síkban fekszik, tehát ezek M metszéspontja az ABE és CDE síkok metszésvonalán van, vagyis az e egyenes éppen az EM egyenese. Ezek szerint EMAB.

 
 

Jelöljük B'-vel a B pont A-ra vonatkozó tükörképét, C'-vel pedig a C pont D-re vonatkozó tükörképét. Ekkor B'B=C'C=2AB=EM, tehát a B'C'M és a BCE síkok párhuzamosak. Ebből következik, hogy az MBCE és a B'BCE tetraéderek térfogata megegyezik:
VMBCE=VB'BCE.(1)

Látszik, hogy a B'BC háromszög és az ABCD téglalap területe egyenlő, tehát a B'BCE tetraéder és az ABCDE gúla térfogata megegyezik:
VB'BCE=VABCDE=1.(2)
Az ABA1 és EMA1 háromszögek hasonlók, mert a megfelelő oldalak párhuzamosak vagy egybeesnek. Ebből következik, hogy A1M=2A1B (mivel EM=2AB a feladat szerint), vagyis A1M=23MB. Ugyanígy kapjuk, hogy MD1=23MC. Ezek szerint az MA1D1 és az MBC háromszögek hasonlók, MA1D1-et az MBC háromszög M centrumból történő 2/3 arányú kicsinyítésével kapjuk. A területek aránya a lineáris méretek arányának négyzete:
TMA1D1=49TMBC.

Ebből rögtön adódik, hogy az EMA1D1 tetraéder térfogata az EMBC tetraéder térfogatának 4/9-e:
VEMA1D1=49VEMBC.(3)

Az (1), (2) és (3) egyenleteket összevetve azt találjuk, hogy az EMA1D1 tetraéder térfogata 4/9 térfogategység.
 

 Réz András (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
 
Megjegyzés Nem használtuk ki, hogy az ABCD négyszög derékszögű, csak azt, hogy paralelogramma, sőt még azt sem, hogy EA=EC és EB=ED volna.