Feladat: F.2420 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Böröczky L. ,  Danyi P. ,  Erdős 228 L. ,  Hetyei G. ,  Horváth A. ,  Hraskó A. ,  Kovács J. 111 S. ,  Megyesi G. ,  Peták T. ,  Petrovics Györgyi ,  Réz A. ,  Szabó Cs. ,  Törőcsik J. 
Füzet: 1984/október, 297 - 300. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hossz, kerület, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/április: F.2420

Egységnyi sugarú kör kerületén kijelöljük egyrészt egy szabályos hatszög, másrészt egy szabályos hétszög csúcspontjait. Milyen határok között változik a kijelölt pontok konvex burkának a kerülete?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egységnyi sugarú kör kerületén már egy-egy csúcspont kijelölése is teljesen megszabja a kívánt szabályos hat-, ill. hétszöget. A konvex burok alakját pedig, mivel azt csak a szabályos sokszögek relatív helyzete befolyásolja, egyetlen szögparaméter meghatározza. A paraméter szerencsés megválasztása megkönnyítheti a szükséges számításokat.
Kiinduló helyzetnek tekintsük azt, amelyben a szabályos sokszögeknek van közös szimmetria-tengelyük, de nincs közös csúcspontjuk (lásd ábra; a szabályos hatszög csúcsait teli, a szabályos hétszögét üres karikák jelölik). A konvex burok most egy tengelyesen szimmetrikus 13 oldalú sokszög, melynek csúcspontjait a szabályos sokszögek csúcspontjai alkotják.

 
 

Ennek a 13-szögnek a középponti szögeit vizsgáljuk. A szabályos hatszög csúcsai a szabályos hétszög különböző középponti szögtartományaiba esnek, mivel 2π6>2π7. A szabályos hétszögnek tehát pontosan egy középponti szögtartománya van, amelybe nem esik hatszög-csúcs. Ez a 2π7 nagyságú szögtartomány ezért szükségképpen szimmetrikus a konvex burok szimmetriatengelyére. A vele szomszédos középponti szögek a 13-szögben a szimmetria miatt egyenlők, mégpedig π42 nagyságúak, mivel összegük 2π6-2π7. Most mindkét forgásirányban tovább haladva felváltva következnek hatszög, ill. hétszög-csúcsra illeszkedő szögszárak.
Nevezzük a középponti szögek irányának annak a 180°-osnál kisebb elforgatásnak az irányát, amely a szög hétszög-csúcsra illeszkedő szárát (kezdő szár) a hatszög-csúcsra illeszkedő szárába viszi át.
A 2π7 nagyságú szög kivételével minden középponti szögnek van egy szimmetrikus párja, amely éppen ezért vele egyenlő nagyságú, de ellentétes irányú. Ha a π42 nagyságú szögekből kiindulva, a szög irányába haladva, a kiindulásul vett szöggel azonos irányú szögeket sorra vesszük, minden szög az előzőnél 2π42-vel nagyobb, hiszen egy szöget az előzőből úgy is megkaphatunk, hogy ennek kezdő szárát 2π7 -tel, másik szárát 2π6 -tal a szög irányába elforgatjuk.
A kiinduló helyzetben tehát a konvex buroknak van egy 2π7 nagyságú középponti szöge, továbbá két-két π42,3π42,5π42,7π42,9π42,11π42 nagyságú középponti szöge.
Rögzítsük a szabályos hatszöget, és forgassuk el a középpont körül a szabályos hétszöget pozitív irányban, az elforgatás szöge legyen 2x. Célunk az, hogy a konvex burok az összes lehetséges alakját felvegye. Azt állítjuk, hogy ehhez elegendő, ha 2x értéke 0 és π42 között változik. Valóban, 2x=2π42 esetén újra a kiinduló helyzettel azonos helyzet áll elő. A π42<2x<2π42 esetekben pedig csak a tükörképeit kapjuk azoknak a konvex burkoknak, amelyek a 0<2x<π42 esetekben létrejöttek. A tükörtengely az a közös szimmetria-tengely, amellyel 2x=π42 esetén a szabályos sokszögek rendelkeznek. (Ebben az esetben van közös csúcs is, tehát a konvex burok 12 oldalú sokszög.)
Írjuk föl a konvex burok kerületét x függvényében! Az elforgatás következtében a negatív irányú középponti szögek 2x-szel nőnek, a pozitív irányúak 2x-szel csökkennek, a 2π/7 nagyságú középponti szög nem változik. Így a következő 13 (esetleg 12, ha 2x=π/42) középponti szögünk van:
2π7,π42-2x,π42+2x,3π42-2x,3π42+2x,5π42-2x,5π42+2x,7π42-2x,7π42+2x,9π42-2x,9π42+2x,11π42-2x,11π42+2x,


Az egységnyi sugarú körben az α középponti szöghöz tartozó húr hossza 2sinα2, tehát a konvex sokszög k(x) kerülete
k(x)=2sinπ7+2i=16(sin(2i-184π-x)+sin(2i-184π+x)).
A sin(α+x)+sin(α-x)=2sinαcosx azonosság alapján
k(x)=2sinπ7+2i=16(2sin(2i-1)π84cosx)=A+Bcosx,(1)ahol  A=2sinπ7=0,868,ésB=4i=16sin(2i-1)π84=5,297.


Mivel cosx a kérdéses 0xπ/84 intervallumon szigorúan fogy, azért
A+Bk(x)A+Bcosπ84,
és egyenlőség csak az x=0, illetve x=π/84 esetekben áll fönn. Ezzel a feladatot megoldottuk.

 

Megjegyzés. Az (1)-ben szereplő B-vel jelölt kifejezést zárt alakban is felírhatjuk a következő azonosság alapján:
sint+sin2t+...+sinnt=sin(n+1)t2sinnt2sint2.
Ekkor ugyanis
i=16sin(2i-1)π84=i=111siniπ84-i=15sin2iπ84=sinπ14sin11π168sinπ168-sinπ14sin5π84sinπ84==sinπ/14sinπ/84(2sin11π168cosπ168-sin5π84)=sin2π/14sinπ/84.


A legutolsó lépésben a zárójel első tagjára a következő azonosságot alkalmaztuk:
2sinucosv=sin(u+v)+sin(u-v).
Ezek alapján
k(x)=2sinπ7+4sin2π/14sinπ/84cosx.
Innen k(x) értéke zsebkalkulátorral pontosabban számolható:
k(π84)=6,1610929,ésk(0)=6,1647971,
a konvex burok kerülete mindig e két határ között van.