Kezdőlap


Feladat:	F.2420	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Böröczky L. , Danyi P. , Erdős 228 L. , Hetyei G. , Horváth A. , Hraskó A. , Kovács J. 111 S. , Megyesi G. , Peták T. , Petrovics Györgyi , Réz A. , Szabó Cs. , Törőcsik J.
Füzet:	1984/október, 297 - 300. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/április: F.2420

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egységnyi sugarú kör kerületén már egy-egy csúcspont kijelölése is teljesen megszabja a kívánt szabályos hat-, ill. hétszöget. A konvex burok alakját pedig, mivel azt csak a szabályos sokszögek relatív helyzete befolyásolja, egyetlen szögparaméter meghatározza. A paraméter szerencsés megválasztása megkönnyítheti a szükséges számításokat.
Kiinduló helyzetnek tekintsük azt, amelyben a szabályos sokszögeknek van közös szimmetria-tengelyük, de nincs közös csúcspontjuk (lásd ábra; a szabályos hatszög csúcsait teli, a szabályos hétszögét üres karikák jelölik). A konvex burok most egy tengelyesen szimmetrikus 13 oldalú sokszög, melynek csúcspontjait a szabályos sokszögek csúcspontjai alkotják.

Ennek a 13-szögnek a középponti szögeit vizsgáljuk. A szabályos hatszög csúcsai a szabályos hétszög különböző középponti szögtartományaiba esnek, mivel

\frac{2 π}{6} > \frac{2 π}{7}

. A szabályos hétszögnek tehát pontosan egy középponti szögtartománya van, amelybe nem esik hatszög-csúcs. Ez a

\frac{2 π}{7}

nagyságú szögtartomány ezért szükségképpen szimmetrikus a konvex burok szimmetriatengelyére. A vele szomszédos középponti szögek a 13-szögben a szimmetria miatt egyenlők, mégpedig

\frac{π}{42}

nagyságúak, mivel összegük

\frac{2 π}{6} - \frac{2 π}{7}

. Most mindkét forgásirányban tovább haladva felváltva következnek hatszög, ill. hétszög-csúcsra illeszkedő szögszárak.
Nevezzük a középponti szögek irányának annak a 180

°

-osnál kisebb elforgatásnak az irányát, amely a szög hétszög-csúcsra illeszkedő szárát (kezdő szár) a hatszög-csúcsra illeszkedő szárába viszi át.
A

\frac{2 π}{7}

nagyságú szög kivételével minden középponti szögnek van egy szimmetrikus párja, amely éppen ezért vele egyenlő nagyságú, de ellentétes irányú. Ha a

\frac{π}{42}

nagyságú szögekből kiindulva, a szög irányába haladva, a kiindulásul vett szöggel azonos irányú szögeket sorra vesszük, minden szög az előzőnél

\frac{2 π}{42}

-vel nagyobb, hiszen egy szöget az előzőből úgy is megkaphatunk, hogy ennek kezdő szárát

\frac{2 π}{7}

-tel, másik szárát

\frac{2 π}{6}

-tal a szög irányába elforgatjuk.
A kiinduló helyzetben tehát a konvex buroknak van egy

\frac{2 π}{7}

nagyságú középponti szöge, továbbá két-két

\frac{π}{42}, \frac{3 π}{42}, \frac{5 π}{42}, \frac{7 π}{42}, \frac{9 π}{42}, \frac{11 π}{42}

nagyságú középponti szöge.
Rögzítsük a szabályos hatszöget, és forgassuk el a középpont körül a szabályos hétszöget pozitív irányban, az elforgatás szöge legyen

2 x

. Célunk az, hogy a konvex burok az összes lehetséges alakját felvegye. Azt állítjuk, hogy ehhez elegendő, ha

2 x

értéke

0

és

\frac{π}{42}

között változik. Valóban,

2 x = \frac{2 π}{42}

esetén újra a kiinduló helyzettel azonos helyzet áll elő. A

\frac{π}{42} < 2 x < \frac{2 π}{42}

esetekben pedig csak a tükörképeit kapjuk azoknak a konvex burkoknak, amelyek a

0 < 2 x < \frac{π}{42}

esetekben létrejöttek. A tükörtengely az a közös szimmetria-tengely, amellyel

2 x = \frac{π}{42}

esetén a szabályos sokszögek rendelkeznek. (Ebben az esetben van közös csúcs is, tehát a konvex burok 12 oldalú sokszög.)
Írjuk föl a konvex burok kerületét

x

függvényében! Az elforgatás következtében a negatív irányú középponti szögek

2 x

-szel nőnek, a pozitív irányúak

2 x

-szel csökkennek, a

2 π / 7

nagyságú középponti szög nem változik. Így a következő 13 (esetleg 12, ha

2 x = π / 42

) középponti szögünk van:

\begin{matrix} \frac{2 π}{7}, \frac{π}{42} - 2 x, \frac{π}{42} + 2 x, \frac{3 π}{42} - 2 x, \frac{3 π}{42} + 2 x, \frac{5 π}{42} - 2 x, \frac{5 π}{42} + 2 x, \frac{7 π}{42} - 2 x, \frac{7 π}{42} + 2 x, \\ \frac{9 π}{42} - 2 x, \frac{9 π}{42} + 2 x, \frac{11 π}{42} - 2 x, \frac{11 π}{42} + 2 x, \end{matrix}

Az egységnyi sugarú körben az

α

középponti szöghöz tartozó húr hossza

2 sin \frac{α}{2}

, tehát a konvex sokszög

k (x)

kerülete

\begin{matrix} k (x) = 2 sin \frac{π}{7} + 2 \cdot \sum_{i = 1}^{6} (sin (\frac{2 i - 1}{84} π - x) + sin (\frac{2 i - 1}{84} π + x)) . \end{matrix}

sin (α + x) + sin (α - x) = 2 sin α cos x

azonosság alapján

\begin{matrix} k (x) = 2 sin \frac{π}{7} + 2 \cdot \sum_{i = 1}^{6} (2 sin \frac{(2 i - 1) π}{84} \cdot cos x) = A + B cos x, & (1) \\ ahol A = 2 sin \frac{π}{7} = 0, 868, és B = 4 \cdot \sum_{i = 1}^{6} sin \frac{(2 i - 1) π}{84} = 5, 297. \end{matrix}

Mivel

cos x

a kérdéses

0 ≦ x ≦ π / 84

intervallumon szigorúan fogy, azért

\begin{matrix} A + B ≧ k (x) ≧ A + B cos \frac{π}{84}, \end{matrix}

és egyenlőség csak az

x = 0

, illetve

x = π / 84

esetekben áll fönn. Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzés. Az (1)-ben szereplő

B

-vel jelölt kifejezést zárt alakban is felírhatjuk a következő azonosság alapján:

\begin{matrix} sin t + sin 2 t + ... + sin n t = \frac{sin \frac{(n + 1) t}{2} sin \frac{n t}{2}}{sin \frac{t}{2}} . \end{matrix}

Ekkor ugyanis

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{6} sin \frac{(2 i - 1) π}{84} = \sum_{i = 1}^{11} sin \frac{i π}{84} - \sum_{i = 1}^{5} sin \frac{2 i π}{84} = \frac{sin \frac{π}{14} \cdot sin \frac{11 π}{168}}{sin \frac{π}{168}} - \frac{sin \frac{π}{14} sin \frac{5 π}{84}}{sin \frac{π}{84}} = \\ = \frac{sin π / 14}{sin π / 84} (2 sin \frac{11 π}{168} cos \frac{π}{168} - sin \frac{5 π}{84}) = \frac{sin^{2} π / 14}{sin π / 84} . \end{matrix}

A legutolsó lépésben a zárójel első tagjára a következő azonosságot alkalmaztuk:

\begin{matrix} 2 sin u cos v = sin (u + v) + sin (u - v) . \end{matrix}

Ezek alapján

\begin{matrix} k (x) = 2 sin \frac{π}{7} + 4 \frac{sin^{2} π / 14}{sin π / 84} cos x . \end{matrix}

Innen

k (x)

értéke zsebkalkulátorral pontosabban számolható:

\begin{matrix} k (\frac{π}{84}) = 6, 161 0929, és k (0) = 6, 164 7971, \end{matrix}

a konvex burok kerülete mindig e két határ között van.