Feladat: F.2409 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alexy N. ,  Balázs Judit ,  Bán Rita ,  Bartha M. ,  Böröczky L. ,  Csillag P. ,  Danyi P. ,  Derekas Edit ,  Erdős 228 L. ,  Herendi T. ,  Hetyei G. ,  Hraskó A. ,  Ilosvay F. ,  Kakuk Ildikó ,  Kerner Anna ,  Kovalscsik I. ,  Ladányi L. ,  Lengyel Zs. ,  Megyesi G. ,  Pásztor J. ,  Peták T. ,  S. Fülöp T. ,  Simon J. ,  Simon P. ,  Szabó 112 T. ,  Szemők Á. ,  Szirmai J. ,  Szlovák Judit ,  Szöllősi Gabriella ,  Vindics I. ,  Zemplényi K. ,  Zsigri G. 
Füzet: 1983/október, 61 - 63. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gúlák, Gömb és részei, Feladat, Térelemek és részeik
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/február: F.2409

Adott háromoldalú gúlába három egyenlő sugarú, egymást páronként érintő gömb helyezendő el úgy, hogy mindegyik érintse az alaplapot és a két legközelebbi oldallapot.
Milyen háromoldalú gúlákban lehetséges ez az elhelyezés, és hogyan szerkeszthetjük meg a gömbök középpontjait?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Tegyük fel, hogy az ABC alapon álló ABCD gúlába sikerült beilleszteni az R sugarú Gi gömböket a követelményeknek megfelelően (i=1,2,3) úgy, hogy az ABD oldallapot G1 és G2 érinti, a BCD lapot G2 és G3, végül CAD-t a G3 és G1. Jelöljük Gi középpontját Qi-vel.

 
 

A Q1, Q2, Q3 pontok mindegyike R távolságra van az ABC háromszög SD síkjától, ennek a síknak ugyanarra a partjára esik, tehát a Q1Q2Q3 háromszög síkja párhuzamos az SD síkkal. S mivel a gömbök páronként érintik egymást, a Q1Q2Q3 háromszög mindegyik oldala 2R, a háromszög szabályos.
Megmutatjuk, hogy az ABC háromszög ugyancsak szabályos, ez tehát szükséges feltétele annak, hogy a gömbök beírhatók legyenek a gúlába. Nyilván elég például azt belátni, hogy a Q1Q2 egyenes párhuzamos az AB alapéllel.
Legyen Gi érintési pontja az alapsíkon Ei, továbbá az ABD=SC síkon Fi(i=1,2). Mivel Q1E1=Q2E2=R, és Q1E1, Q2E2 merőleges SD-re, azért a Q1Q2 egyenes párhuzamos E1E2-vel. Megfordítva: SD-ben az E1E2 -vel párhuzamos egyenesek ‐ és csak ezek ‐ párhuzamosak Q1Q2-vel. Ugyanígy SC egyenesei közül az F1F2-vel párhuzamosak ‐ és csakis ezek ‐párhuzamosak Q1Q2-vel. Ámde SD-nek és SC-nek egyetlen közös egyenese van, az AB élegyenes, ez tehát párhuzamos Q1Q2-vel (és E1E2-vel, F1F2-vel is). ‐ Ezzel beláttuk, hogy az ABC alapidom valóban szabályos háromszög.
Be fogjuk látni, hogy ez a feltétel elegendő is a megfelelő gömbhármas létezéséhez. Eközben egyszersmind meg is szerkesztjük a gömbközéppontokat:
Legyen a gúla beírt gömbjének középpontja O. Ez mind a 4 lapsíktól egyenlő távolságra van, az OA, OB, OC egyenes pontjai pedig rendre attól a 3‐3 lapsíktól vannak egyenlő távolságra, amelyek A-ban, B-ben, ill. C-ben futnak össze. Ezek az A, ill. B, ill. C csúcsú (és a gúlát tartalmazó) ún. triéder belső lapszögfelező síkjainak közös egyenesei. Eszerint Qi rendre OA-n, OB-n, ill. OC-n van, és a Qi, valamint Ei pontokkal meghatározott K háromoldalú szabályos hasáb úgy van beleírva az OABC gúlába, hogy Ei csúcsai ennek ABC alapsíkján vannak, Qi csúcsai pedig az O-ban összefutó oldaléleken.
Ennek a hasábnak a (fedőlapján levő) Qi csúcsait egy csapásra megkaphatjuk egy O centrumú hasonlósági transzformáció útján. Megszerkesztjük az ABC lapra kifelé (szemléletesen mondva lefelé, alája) azt a K' egyenes hasábot, melynek m oldaléle fele akkora, mint az ABC háromszög oldalainak közös hossza, K' tehát hasonló a keresett K-hoz. Legyen az A, B, C-ből lefelé kiinduló oldalél végpontja rendre Hi ‐ az általuk meghatározott háromszög szabályos, síkja párhuzamos SD-vel. A K' lapjai páronként párhuzamosak a keresett K lapsíkjaival, továbbá fedőlapjaik csúcsai olyan párokba kapcsolhatók, melyek összekötő egyenesei átmennek O-n. Ezért mondhattuk előre, hogy O centrumú hasonlósági transzformációt használunk. Így az OHi egyenesnek SD-vel való metszéspontja a keresett Ei-t adja, az Ei-n át SD-re állított merőleges egyenes pedig éppen Qi-t metszi ki az OA, OB, ill. OC szakaszból.
Ugyanis ekkor EiQi párhuzamos a hasáb Hi-n átmenő oldalélével, amit SD -re merőlegesen szerkesztettünk, és pl. E1Q1 benne van az OAH1 síkban.
Így a H1H2H3 háromszöget, az E1E2E3 háromszögbe átvivő hasonlósági transzformáció a Q1Q2Q3 háromszögbe viszi át az ABC háromszöget, tehát K'-t a K-ba. Eszerint Q1Q2Q3 háromszög szabályos, és, Q1Q2:Q1E1=AB: :AH1=2:1.
Ha tehát Qi körül QiEi sugárral Gi gömböket írunk (i=1,2,3), ezek páronként érintik egymást, és mindegyik érinti SD-t. És ha vesszük SD-nek az AQ1Q2 síkra való tükörképét, ez egyfelől érinti G1-et és G2-t, másfelől azonos lesz SC-vel, mert a tükrözés síkja tartalmazza O-t. Gömbjeink eszerint valóban teljesítik a követelményeket.
 

2. Ami a Qi pontok megszerkesztését illeti ‐ adottnak tekintve a szabályos háromszög alapú ABCD gúlát ‐, elvi kérdés, mit értsünk szerkesztésen a térben, amikor a szokásos szerkesztéseinknek ‐ kimondatlanul ‐ állandó hordozója egy sík papírlap. Megoldóink ösztönösen helyesen dolgoztak, itt viszont ki is mondjuk az elveket:
 

Bármely adott (vagy korábbi lépés útján meghatározott) síkban szerkeszthetünk a síkbeli szabályok szerint.
Adott (meghatározott) a sík 3 ismert pontjával, hacsak ezek nincsenek egy egyenesben; egyértelmű ezzel a következő 3 változat: egyenes és rajta kívül fekvő pont, metsző egyenespár, párhuzamos egyenespár.
Ha adott egy sík és egy egyenes (amelynek van a síkon kívül levő pontja is), akkor adottnak tekintjük a közös pontjukat is.
Nem részletezzük, hogyan vezethető vissza ezekre merőleges sík és egyenes, ill. párhozamos sík és egyenes szerkesztése adott egyeneshez vagy síkhoz, valamint síkok metszésvonalának szerkesztése.
 

3. Ebben az értelemben csak a gúla O pontjának szerkesztését részletezzük, ami tulajdonképpen csak lapszög felezését jelenti. Az AB élű lapszög szárlapjaiból, SD-ből és SC-ből kimetsszük egy‐egy egyenesüket, az AB-n választott X ponton átmenő és AB-re merőleges sík révén. A két egyenes szögét felező egyenes AB-vel együtt meghatározza a szögfelező síkot.
 

Megjegyzés. A kitűző 1963-ban szerkesztette javaslatát. Hozzátette, hogy az 1962. évi Arany‐verseny egyik feladatát vitte át térre: Adott egy háromszög. Szerkesszünk két egyenlő sugarú kört úgy, hogy mind a két kör érintse a háromszög két oldalát és ezen kívül egymást is érintsék. (A megoldást lásd KöMaL 25. (1962) 104. oldal.)