Kezdőlap


Feladat:	F.2408	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antall P. , Badics T. , Beke S. , Bene L. , Bóna M. , Bujdosó L. , Csillag P. , Danyi P. , Erdős 228 L. , Fáth G. , Fodor Gy. , Gulyás Éva , Hajós Zsuzsanna , Hegedüs Andrea , Horváth A. , Hraskó A. , Ispány Márton , Kapovits Á. , Katona Gy. , Kisdi B. , Kruzslicz F. , Ladányi L. , Lengyel Gy. , Lengyel Zs. , Magyar P. , Megyesi G. , Mócsy M. , Nyikes P. , Pásztor L. , Peták T. , Pintér G. , Reményi L. , Réz A. , Stadler P. , Steer A. , Szabó 112 T. , Szabó Cs. , Szakállas Gy. , Szalay Gy. , Szemők Á. , Szöllősi Gabriella , Tóth G. , Törőcsik J. , Varga K. , Vindics I.
Füzet:	1983/október, 59 - 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/február: F.2408

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $F_{i}$ határoló körének középpontját $O_{i}$ -vel. Az érmék érintkezése folytán az $O_{1} O_{2} ... O_{n}$ zárt sokszög (poligon) minden oldala egyenlő az érmek átmérőjével, ezt választjuk hosszúságegységnek. A síkra való lerögzítés kimondatlanul is azt jelenti, hogy az érmék nem fedik át egymást, bármely $i$ és $j$ indexpárra $O_{i} O_{j} \geq 1$ , így az $O_{1} ... O_{n}$ egyenlő oldalú poligon kerülete nem metszi át önmagát, és beszélhetünk a poligon körüljárási irányáról. Legyen az $O_{1}$ , $O_{2}$ , $...$ , $O_{n}$ körüljárás pozitív irányú.
Célszerű a gördülés leírásában kiemelni $G$ -nek azokat a helyzeteit, amelyekben éppen két érintkező egyforintost érint, és átvált az $F_{i}$ -re való támaszkodásról az $F_{i + 1}$ -re való támaszkodásra. Legyen ebben a helyzetben $G$ határoló körének középpontja $G_{i + 1}$ nevezzük ezt a $G$ érme ( $i + 1$ )-edik nyugvópontjának. Ekkor $O_{i} O_{i + 1} G_{i + 1}$ egységnyi oldalú szabályos háromszög, tehát a nyugvóponti helyzeteket ‐ határoló körüket ‐ előre megrajzolhatjuk.

1. ábra

A föltevés szerint az

O_{i} O_{i + 1} G_{i + 1}

háromszög nem fedi át a közvetlen megelőző

O_{i - 1} O_{i} G_{i}

háromszöget, és így a

G_{i}

-t,

G_{i + 1}

-et tartalmazó

O_{i - 1} O_{i} O_{i + 1}

szögtartomány legalább

2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}

‐ különben ugyanis

G

F_{i - 1}

-ről közvetlenül

F_{i + 1}

-re jutna át, nem érintené

F_{i}

-t (2. ábra).

2. ábra

Tehát az

O

-poligon

O_{i}

-nál levő belső szöge legföljebb

240^{\circ}

-os.
Az

O_{i} G_{i}

és

O_{i} G_{i + 1}

szakasz kimetszi

F_{i}

kerületéből azt a

K_{i}

, ill.

V_{i}

pontot, amelyek közötti ív pontjaira

G

támaszkodni fog;

K_{i}

lesz a kezdőpont,

V_{i}

a végpont.
Legyen az utóbbi pontnak a tükörképe az

F_{i}

-hez

K_{i}

-ben fektetett érintőre nézve

V'_{i}

, ekkor

V'_{i}

már az érme

i

-edik nyugvópontjában kijelöli

G

-nek azt a pontját, amellyel az (

i + 1

)-edik nyugvópontban fog

F_{i}

-nek

V_{i}

végpontjára támaszkodni. A gördülés ugyanis azt jelenti, hogy a

K_{i} V_{i}

és

K_{i} V'_{i}

ívek egyenlő hosszúak, így a sugarak egyenlősége alapján a hozzájuk tartozó

K_{i} O_{i} V_{i}

és

K_{i} G_{i} V'_{i}

középponti szögek is egyenlők. Forgásszögnek tekintve az előbbi pozitív, az utóbbi negatív. Ez azt jelenti, hogy a

V'_{i} G_{i} K_{i} = β_{i}

forgásszög pozitív.
Azt állítjuk, hogy a

G_{i}

és

G_{i + 1}

nyugvópontok közti átgördülés hatására

G

K_{i} O_{i} V_{i} = β_{i}

forgásszög 2-szeresével fog elfordulni. Ugyanis a gördülés két forgásból áll össze. Ha a

G_{i}

körüli kört

β_{i}

-vel elfordítjuk, a

G_{i + 1}

körüli körbe, evvel még csak

K'_{i}

jut érintkezésbe

V_{i}

-vel. Ezt követi a

G_{i + 1}

körüli forgás a

V'_{i} G_{i} K'_{i} = β_{i}

nagyságú szöggel, ez után esik egybe

V'_{i}

V_{i}

ponttal.
Láthatóan

β_{i} = 360^{\circ} - 2 \cdot 60^{\circ} - α_{i} = 240^{\circ} - α_{i}

, ahol

α_{i} = O_{i - 1} O_{i} O_{i + 1}

belső szög.
Az

F_{1} ... F_{n}

érmekoszorú körüli teljes átgördüléskor

G

-nek minden sugara

\begin{matrix} 2 (β_{1} + β_{2} + ... + β_{n}) = 2 n \cdot 240^{\circ} - 2 (α_{1} + ... + α_{n}) \end{matrix}

szöggel fordul el. Mivel pedig

\begin{matrix} 480^{\circ} = \frac{4}{3} 360^{\circ} és α_{1} + ... + α_{n} = (n - 2) 180^{\circ}, \end{matrix}

azért az elfordulás a

360^{\circ}

-nak

\begin{matrix} \frac{4 n}{3} - (n - 2) = \frac{n}{3} + 2 -vel \end{matrix}

való szorzata.

G

Tehát

2 + n / 3

fordulatot tesz a saját középpontja körül.
Eredményünk már

n = 2

esetén is érvényes, a 2 oldalú sokszögnek mindkét szöge

0^{\circ}

. Az

n = 1

esetben ‐ mint közismert ‐ 2 fordulatot tesz

G

, míg körüljárja

F_{1}

-et (3. ábra).

3. ábra

Megjegyzés. Az érméknek a síkra való lerögzítése azt is jelenti, hogy az

O_{1} O_{2} ... O_{n}

sokszögnek minden belső szöge legalább

60^{\circ}

, erre azonban nem volt szükség a számításban.