Feladat: F.2408 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Antall P. ,  Badics T. ,  Beke S. ,  Bene L. ,  Bóna M. ,  Bujdosó L. ,  Csillag P. ,  Danyi P. ,  Erdős 228 L. ,  Fáth G. ,  Fodor Gy. ,  Gulyás Éva ,  Hajós Zsuzsanna ,  Hegedüs Andrea ,  Horváth A. ,  Hraskó A. ,  Ispány Márton ,  Kapovits Á. ,  Katona Gy. ,  Kisdi B. ,  Kruzslicz F. ,  Ladányi L. ,  Lengyel Gy. ,  Lengyel Zs. ,  Magyar P. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Nyikes P. ,  Pásztor L. ,  Peták T. ,  Pintér G. ,  Reményi L. ,  Réz A. ,  Stadler P. ,  Steer A. ,  Szabó 112 T. ,  Szabó Cs. ,  Szakállas Gy. ,  Szalay Gy. ,  Szemők Á. ,  Szöllősi Gabriella ,  Tóth G. ,  Törőcsik J. ,  Varga K. ,  Vindics I. 
Füzet: 1983/október, 59 - 61. oldal  PDF file
Témakör(ök): Körök, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/február: F.2408

Az F1,F2, ...,Fn egyforintos érmék úgy vannak leerősítve a síkra, hogy minden egyes Fi érinti Fi+1-et (i=1,2,...,n, és Fn+1-en F1-et értjük), továbbá egy ugyanilyen G egyforintos érme körülgördülhet kívülről e "koszorú'' körül, úgy hogy egymás után rátámaszkodik minden egyes Fi-nek egy ívére. Hány fordulatot tesz G a saját középpontja körül, míg először visszaérkezik kiindulási helyére ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük Fi határoló körének középpontját Oi-vel. Az érmék érintkezése folytán az O1O2...On zárt sokszög (poligon) minden oldala egyenlő az érmek átmérőjével, ezt választjuk hosszúságegységnek. A síkra való lerögzítés kimondatlanul is azt jelenti, hogy az érmék nem fedik át egymást, bármely i és j indexpárra OiOj1, így az O1...On egyenlő oldalú poligon kerülete nem metszi át önmagát, és beszélhetünk a poligon körüljárási irányáról. Legyen az O1, O2, ..., On körüljárás pozitív irányú.
Célszerű a gördülés leírásában kiemelni G-nek azokat a helyzeteit, amelyekben éppen két érintkező egyforintost érint, és átvált az Fi-re való támaszkodásról az Fi+1-re való támaszkodásra. Legyen ebben a helyzetben G határoló körének középpontja Gi+1 nevezzük ezt a G érme (i+1)-edik nyugvópontjának. Ekkor OiOi+1Gi+1 egységnyi oldalú szabályos háromszög, tehát a nyugvóponti helyzeteket ‐ határoló körüket ‐ előre megrajzolhatjuk.

 

1. ábra
 
A föltevés szerint az OiOi+1Gi+1 háromszög nem fedi át a közvetlen megelőző Oi-1OiGi háromszöget, és így a Gi-t, Gi+1-et tartalmazó Oi-1OiOi+1 szögtartomány legalább 260=120 ‐ különben ugyanis G az Fi-1-ről közvetlenül Fi+1-re jutna át, nem érintené Fi-t (2. ábra).
 

2. ábra
 
Tehát az O-poligon Oi-nál levő belső szöge legföljebb 240-os.
Az OiGi és OiGi+1 szakasz kimetszi Fi kerületéből azt a Ki, ill. Vi pontot, amelyek közötti ív pontjaira G támaszkodni fog; Ki lesz a kezdőpont, Vi a végpont.
Legyen az utóbbi pontnak a tükörképe az Fi-hez Ki-ben fektetett érintőre nézve V'i, ekkor V'i már az érme i-edik nyugvópontjában kijelöli G-nek azt a pontját, amellyel az (i+1)-edik nyugvópontban fog Fi-nek Vi végpontjára támaszkodni. A gördülés ugyanis azt jelenti, hogy a KiVi és KiV'i ívek egyenlő hosszúak, így a sugarak egyenlősége alapján a hozzájuk tartozó KiOiVi és KiGiV'i középponti szögek is egyenlők. Forgásszögnek tekintve az előbbi pozitív, az utóbbi negatív. Ez azt jelenti, hogy a V'iGiKi=βi forgásszög pozitív.
Azt állítjuk, hogy a Gi és Gi+1 nyugvópontok közti átgördülés hatására G a KiOiVi=βi forgásszög 2-szeresével fog elfordulni. Ugyanis a gördülés két forgásból áll össze. Ha a Gi körüli kört βi-vel elfordítjuk, a Gi+1 körüli körbe, evvel még csak K'i jut érintkezésbe Vi-vel. Ezt követi a Gi+1 körüli forgás a V'iGiK'i=βi nagyságú szöggel, ez után esik egybe V'i a Vi ponttal.
Láthatóan βi=360-260-αi=240-αi, ahol αi=Oi-1OiOi+1 belső szög.
Az F1...Fn érmekoszorú körüli teljes átgördüléskor G-nek minden sugara
2(β1+β2+...+βn)=2n240-2(α1+...+αn)
szöggel fordul el. Mivel pedig
480=43360ésα1+...+αn=(n-2)180,
azért az elfordulás a 360-nak
4n3-(n-2)=n3+2-vel
való szorzata. G Tehát 2+n/3 fordulatot tesz a saját középpontja körül.
Eredményünk már n=2 esetén is érvényes, a 2 oldalú sokszögnek mindkét szöge 0. Az n=1 esetben ‐ mint közismert ‐ 2 fordulatot tesz G, míg körüljárja F1-et (3. ábra).
 

3. ábra
 
 

Megjegyzés. Az érméknek a síkra való lerögzítése azt is jelenti, hogy az O1O2...On sokszögnek minden belső szöge legalább 60, erre azonban nem volt szükség a számításban.