Kezdőlap


Feladat:	F.2405	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Böröczky L. , Danyi P. , Erdős 228 L. , Hetyei G. , Horváth A. , Hraskó A. , Kovács 829 T. , Megyesi G. , Mócsy M. , Pásztor L. , Réz A. , Szabó 741 Z. , Szabó Cs. , Szederkényi E. , Szemők Á. , Törőcsik J. , Vindics I.
Füzet:	1983/október, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/február: F.2405

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elsőként definiálunk egy prímszámokból álló ${p_{k}}$ sorozatot. Legyen $p_{1} = 2$ . Ha $p_{k}$ -t már meghatároztuk, legyen $p_{k + 1}$ egy (például a legkisebb) $p_{k}^{3}$ és ${(p_{k} + 1)}^{3}$ közé eső prím. Ilyen prím a megadott tétel szerint létezik. Legyen

\begin{matrix} a_{k} = \sqrt[3^{k}]{p_{k}}, b_{k} = \sqrt[3^{k}]{p_{k} + 1} . \end{matrix}

Mivel

p_{k}^{3} < p_{k + 1}

, azért

a_{k} < a_{k + 1}

. Továbbá

b_{k + 1} < b_{k}

is teljesül, hiszen

{(p_{k} + 1)}^{3} - 1

osztható

p_{k}

-val, ezért nem lehet prím, és így

p_{k + 1} + 1 < {(p_{k} + 1)}^{3}

. Ezek szerint az [

a_{k}, b_{k}

] zárt intervallumok egymásba skatulyázottak, így Cantor tétele alapján van közös pontjuk, jelöljük ezt

a

-val. Megmutatjuk, hogy ez az

a

szám kielégíti a feladat feltételeit. Tudjuk, hogy minden

k

-ra

a_{k} \leq a \leq b_{k}

. Itt egyenlőség egyik oldalon sem állhat fenn, mert

a \in [a_{k + 1}, b_{k + 1}]

is igaz, és [

a_{k + 1}, b_{k + 1}]

végpontjai az [

a_{k}, b_{k}

] intervallum belsejébe esnek. Így

a_{k} < a < b_{k}

, tehát

\begin{matrix} p_{k} = a_{k}^{3^{k}} < a^{3^{k}} < b_{k}^{3^{k}} = p_{k} + 1, \end{matrix}

azaz

a^{3^{k}}

egész része éppen

p_{k}

, ami prímszám tetszőleges

k

pozitív egészre. Végül

a_{1} = \sqrt[3]{2} < a

miatt

a > 1

is teljesül.

Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Megjegyzések. 1. A feladatban kimondott érdekes állítást elsőként W. H. Mills amerikai matematikus publikálta még 1947-ben.

2. Ha tudjuk, hogy minden elegendően nagy

n

-re található prímszám

n^{c}

és

{(n + 1)}^{c}

között, akkor a megoldásban leírtakhoz hasonlóan bizonyítható, hogy van olyan

a > 1

valós szám, melyre

a^{c^{k}}

egész része prímszám minden

k

pozitív egészre.

c

legkisebb értéke, melyre a fenti állítást eddig bizonyítani tudták, 12/5. Híres és mindmáig eldöntetlen probléma, hogy vajon

n^{2}

és

{(n + 1)}^{2}

között mindig található-e prímszám.

3. Igaz a következő állítás is: minden

c > 1

valós számhoz található olyan

a > 1

valós szám, hogy

c^{a^{k}}

egész része prímszám minden pozitív egész

k

-ra.