Feladat: F.2405 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Böröczky L. ,  Danyi P. ,  Erdős 228 L. ,  Hetyei G. ,  Horváth A. ,  Hraskó A. ,  Kovács 829 T. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Pásztor L. ,  Réz A. ,  Szabó 741 Z. ,  Szabó Cs. ,  Szederkényi E. ,  Szemők Á. ,  Törőcsik J. ,  Vindics I. 
Füzet: 1983/október, 56 - 57. oldal  PDF file
Témakör(ök): Prímszámok, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/február: F.2405

Ismeretes, hogy minden n pozitív egész számhoz található olyan prímszám, amely n3 és (n+1)3 közé esik. Ennek felhasználásával bizonyítsuk be, hogy van olyan a>1 valós szám, amelyre a3k egész része prímszám, minden természetes k-ra.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elsőként definiálunk egy prímszámokból álló {pk} sorozatot. Legyen p1=2. Ha pk-t már meghatároztuk, legyen pk+1 egy (például a legkisebb) pk3 és (pk+1)3 közé eső prím. Ilyen prím a megadott tétel szerint létezik. Legyen

ak=pk3k,bk=pk+13k.
Mivel pk3<pk+1, azért ak<ak+1. Továbbá bk+1<bk is teljesül, hiszen (pk+1)3-1 osztható pk-val, ezért nem lehet prím, és így pk+1+1<(pk+1)3. Ezek szerint az [ak,bk] zárt intervallumok egymásba skatulyázottak, így Cantor tétele alapján van közös pontjuk, jelöljük ezt a-val. Megmutatjuk, hogy ez az a szám kielégíti a feladat feltételeit. Tudjuk, hogy minden k-ra akabk. Itt egyenlőség egyik oldalon sem állhat fenn, mert a[ak+1,bk+1] is igaz, és [ak+1,bk+1] végpontjai az [ak,bk] intervallum belsejébe esnek. Így ak<a<bk, tehát
pk=ak3k<a3k<bk3k=pk+1,
azaz a3k egész része éppen pk, ami prímszám tetszőleges k pozitív egészre. Végül a1=23<a miatt a>1 is teljesül.
 

Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
 
Megjegyzések. 1. A feladatban kimondott érdekes állítást elsőként W. H. Mills amerikai matematikus publikálta még 1947-ben.
 

2. Ha tudjuk, hogy minden elegendően nagy n-re található prímszám nc és (n+1)c között, akkor a megoldásban leírtakhoz hasonlóan bizonyítható, hogy van olyan a>1 valós szám, melyre ack egész része prímszám minden k pozitív egészre. c legkisebb értéke, melyre a fenti állítást eddig bizonyítani tudták, 12/5. Híres és mindmáig eldöntetlen probléma, hogy vajon n2 és (n+1)2 között mindig található-e prímszám.
 

3. Igaz a következő állítás is: minden c>1 valós számhoz található olyan a>1 valós szám, hogy cak egész része prímszám minden pozitív egész k-ra.