Feladat: F.2397 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alexy N. ,  Antall P. ,  Badics T. ,  Bán Rita ,  Bánhegyi B. ,  Buzás M. ,  Böröczky L. ,  Danyi P. ,  Donkó z. ,  Drobni A. ,  Erdős 228 L. ,  Fáth G. ,  Fóris Z. ,  Gulyás Éva ,  Hegedűs Andrea ,  Herendi T. ,  Hetyei G. ,  Horváth 290 P. ,  Horváth A. ,  Hraskó A. ,  Ilosvay F. ,  Kántor Cs. ,  Katona Gy. ,  Kerner Anna ,  Kós G. ,  Kovács 111 S. ,  Ladányi L. ,  Márkus A. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Nyikes P. ,  Parajdi I. ,  Pásztor L. ,  Petrovics Gyöngyi ,  Rátkay G. ,  Réz A. ,  Simon P. ,  Szabó Cs. ,  Szirmai J. ,  Szöllősi Gabriella ,  Tóth G. ,  Törőcsik J. ,  Varga K. ,  Vindics I. ,  Virányi L. ,  Zsigri G. 
Füzet: 1983/május, 208. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térgeometriai bizonyítások, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/december: F.2397

Adott egy G gömb és benne egy k kör úgy, hogy G középpontjának k síkjára eső merőleges vetülete rajta van k-n. Tudjuk továbbá, hogy k-ra két olyan gömb is illeszkedik, amelyik érinti G-t. Mutassuk meg, hogy ez utóbbi két gömb sugarának összege egyenlő G sugarával.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük G középpontját O-val, a k-ra illeszkedő G1 és G2 gömbök középpontját O1, ill. O2-vel. Tekintsük a három középpont által meghatározott S síkot.

G1 és G2 centrálisa átmegy k-nak K középpontján és merőleges k síkjára, vagyis K is benne van S-ben, k síkja merőleges S-re, k-nak S-re való vetülete egy AB szakasz, melynek hossza egyenlő az átmérővel, és K felezi AB-t. Továbbá O-val együtt S-ben van O-nak k-n levő vetülete, tehát a vetület A és B egyike, legyen ez mondjuk A. (Az AB szakasz aszimmetrikus helyzete miatt S mindig egyértelműen meg van határozva.)
Síkunk mind a három gömbből főkört metsz ki. A belső gömbök főkörei átmennek az A,B pontokon, másrészt érintik a G-ből kimetszett főkört, hiszen a gömbök T1,T2 érintkezési pontjai nyilván rajta vannak az OO1, ill. OO2 centrálison. Így az alakzatból elég vizsgálnunk az S-beli metszetet: adva van az O középpontú, R sugarú k* kör és a belsejében egy AB szakasz úgy, hogy az OAB derékszög; arról a két körről van szó, amelyek átmennek A-n és B-n, továbbá érintik k*-ot. Azt kell belátnunk, hogy az érintő körök sugarainak összege R.
Legyen az Oi középpontú érintő gömb sugara ri ‐ tehát a főköré is ‐, AB=2a(<2R),AO=d(<R) és O vetülete O1O2-n P, tehát OPKA derékszögű négyszög.
Az OiKA derékszögű háromszögekből (i=1,2)OiK=ri2+a2, és igy a K,Oi,P pontok minden helyzetében OiP=|OiK±d| valamelyik előjellel, tehát az OOiP háromszögből Pitagorasz tételével
(ri2+a2±d)2+a2=(R-ri)2,(i=1,2)
azaz
±2dri2+a2=R2-2Rti-d2.
Ebből négyzetre emeléssel másodfokú egyenletet kapunk ri-re:
4(R2-d2)ri2-4R(R2-d2)ri+(R2-d2)2+4a2d2=0,
és ez egyaránt érvényes r1-re, r2-re. Más gyöke tehát nem lehet, ennélfogva gyökeinek összegére ri, és ri2 együtthatói hányadosának (‐1)-szereséből
r1+r2=R,
ezt kellett bizonyítanunk.