Feladat: F.2396 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balog P. ,  Bán Rita ,  Beke S. ,  Blum G. ,  Bujdosó L. ,  Csillag P. ,  Danyi P. ,  Erdős L. ,  Hadnagy G. ,  Hajós Zsuzsanna ,  Hetyei G. ,  Horváth Z. ,  Hraskó A. ,  Ilosvay F. ,  Ispány Márton ,  Kós G. ,  Kovács T. (Debrecen) ,  Kriston T. ,  Ladányi L. ,  Márkus A. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Nyikes P. ,  Parajdi I. ,  Ribényi Á. ,  Simon P. ,  Szabó Cs. (Bp.) ,  Szabó Z. (Bp.) ,  Szederkényi Edit ,  Szemők Á. ,  Szöllősi Gabriella ,  Törőcsik J. ,  Zsigri G. 
Füzet: 1983/szeptember, 13 - 14. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Vektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/december: F.2396

Adott a síkban 3 párhuzamos egyenes ei (i=1,2,3), és mindegyiken egy pont, A1,A2,A3, legyen továbbá P a sík adott pontja. Határozzuk meg a P-n átmenő f egyenest úgy, hogy ennek az ei-vel alkotott Bi metszéspontjaira (i=1,2,3) teljesüljön, hogy A1B1+A2B2=A3B3.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kívánt összefüggés bal és jobb oldalának különbségéhez (ami egy 0 vektor) adjuk hozzá a B1P+B2P-B3P vektort, majd végezzük el a lehetséges összevonásokat:

A1B1+A2B2-A3B3+B1P+B2P-B3P==(A1B1+B1P)+(A2B2+B2P)-(A3B3+B3P)==A1P+A2P-A3P=B1P+B2P-B3P,
azaz
PA1+PA2-PA3=PB1+PB2-PB3.(1)

 
Mivel a B1,B2,B3 és P pontok rajta lesznek a keresett f egyenesen, azért a jobb oldali vektor egyenese maga az f egyenes. Másrészt ha C és D azok a pontok, amelyekre PA1CA2 és PA3CD paralelogrammák, akkor a bal oldal az adatokból megszerkeszthető PD vektor, tehát ennek az egyenese éppen az, amit szerkesztenünk kellett.
Az így létrejött Bi pontokra (i=1,2,3) teljesül (1), és így a vele ekvivalens A1B1+A2B2=A3B3 is.
Ha PD párhuzamosnak adódik az ei egyenesekkel, akkor a Bi pontok nem jönnek létre, és a feladatnak nincs megoldása.
Ha pedig D azonosnak adódik P-vel, vagyis ha a P,A1,A3,A2 pontok ebben a sorrendben egy paralelogramma csúcsai, akkor végtelen sok megoldás van: minden, a P-n átmenő egyenes megfelel, kivéve az, amely párhuzamos ei-vel.
 
 Hetyei Gábor (Pécs, Leöwey K. Gimn., IV. o. t.)
 dolgozata alapján