Kezdőlap


Feladat:	F.2396	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balog P. , Bán Rita , Beke S. , Blum G. , Bujdosó L. , Csillag P. , Danyi P. , Erdős L. , Hadnagy G. , Hajós Zsuzsanna , Hetyei G. , Horváth Z. , Hraskó A. , Ilosvay F. , Ispány Márton , Kós G. , Kovács T. (Debrecen) , Kriston T. , Ladányi L. , Márkus A. , Megyesi G. , Mócsy M. , Nyikes P. , Parajdi I. , Ribényi Á. , Simon P. , Szabó Cs. (Bp.) , Szabó Z. (Bp.) , Szederkényi Edit , Szemők Á. , Szöllősi Gabriella , Törőcsik J. , Zsigri G.
Füzet:	1983/szeptember, 13 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Vektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/december: F.2396

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kívánt összefüggés bal és jobb oldalának különbségéhez (ami egy $0$ vektor) adjuk hozzá a $\vec{B_{1} P} + \vec{B_{2} P} - \vec{B_{3} P}$ vektort, majd végezzük el a lehetséges összevonásokat:

\begin{matrix} \vec{A_{1} B_{1}} + \vec{A_{2} B_{2}} - \vec{A_{3} B_{3}} + \vec{B_{1} P} + \vec{B_{2} P} - \vec{B_{3} P} = \\ = & (\vec{A_{1} B_{1}} + \vec{B_{1} P}) + (\vec{A_{2} B_{2}} + \vec{B_{2} P}) - (\vec{A_{3} B_{3}} + \vec{B_{3} P}) = \\ = & \vec{A_{1} P} + \vec{A_{2} P} - \vec{A_{3} P} = \vec{B_{1} P} + \vec{B_{2} P} - \vec{B_{3} P}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \vec{P A_{1}} + \vec{P A_{2}} - \vec{P A_{3}} = \vec{P B_{1}} + \vec{P B_{2}} - \vec{P B_{3}} . \end{matrix}

(1)

Mivel a

B_{1}, B_{2}, B_{3}

és

P

pontok rajta lesznek a keresett

f

egyenesen, azért a jobb oldali vektor egyenese maga az

f

egyenes. Másrészt ha

C

és

D

azok a pontok, amelyekre

P A_{1} C A_{2}

és

P A_{3} C D

paralelogrammák, akkor a bal oldal az adatokból megszerkeszthető

\vec{P D}

vektor, tehát ennek az egyenese éppen az, amit szerkesztenünk kellett.
Az így létrejött

B_{i}

pontokra

(i = 1,2,3)

teljesül (1), és így a vele ekvivalens

\vec{A_{1} B_{1}} + \vec{A_{2} B_{2}} = \vec{A_{3} B_{3}}

is.
Ha

P D

párhuzamosnak adódik az

e_{i}

egyenesekkel, akkor a

B_{i}

pontok nem jönnek létre, és a feladatnak nincs megoldása.
Ha pedig

D

azonosnak adódik

P

-vel, vagyis ha a

P, A_{1}, A_{3}, A_{2}

pontok ebben a sorrendben egy paralelogramma csúcsai, akkor végtelen sok megoldás van: minden, a

P

-n átmenő egyenes megfelel, kivéve az, amely párhuzamos

e_{i}

-vel.

Hetyei Gábor (Pécs, Leöwey K. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján