Kezdőlap


Feladat:	F.2394	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1983/május, 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Számsorok, Feladat, Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/december: F.2394

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alakítsuk át a $[{(\sqrt[]{k} + \sqrt[]{k + 1})}^{2}]$ kifejezést!

\begin{matrix} [{(\sqrt[]{k} + \sqrt[]{k + 1})}^{2}] = [2 k + 1 + 2 \sqrt[]{k (k + 1)}] = 2 k + 1 + [2 \sqrt[]{k (k + 1)}], \end{matrix}

hiszen egész szám az egészrész-jel alól kiemelhető. Belátjuk, hogy

2 k \leq 2 \sqrt[]{k (k + 1)} < 2 k + 1

, amiből

[2 \sqrt[]{k (k + 1)}] = 2 k

azonnal adódik. Mivel csupa pozitív számról van szó, az utóbbi egyenlőtlenségpár ekvivalens a

\begin{matrix} 4 k^{2} \leq 4 k (k + 1) < 4 k^{2} + 4 k + 1 \end{matrix}

egyenlőtlenséggel, és ez nyilván teljesül A fentiek szerint

[{(\sqrt[]{k} + \sqrt[]{k + 1})}^{2}] = 4 k + 1

, így

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} [{(\sqrt[]{k} + \sqrt[]{k + 1})}^{2}] = \sum_{k = 1}^{n} (4 k + 1) = 4 \frac{n (n + 1)}{2} + n = 2 n^{2} + 3 n, \end{matrix}

és ezt kellett bizonyítani.