Feladat: F.2394 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1983/május, 207. oldal  PDF file
Témakör(ök): Azonosságok, Számsorok, Feladat, Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/december: F.2394

Igazoljuk, hogy
k=1n[(k+k+1)2]=n(2n+3),
ahol [z] a z egész részét jelöli.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alakítsuk át a [(k+k+1)2] kifejezést!

[(k+k+1)2]=[2k+1+2k(k+1)]=2k+1+[2k(k+1)],
hiszen egész szám az egészrész-jel alól kiemelhető. Belátjuk, hogy 2k2k(k+1)<2k+1, amiből [2k(k+1)]=2k azonnal adódik. Mivel csupa pozitív számról van szó, az utóbbi egyenlőtlenségpár ekvivalens a
4k24k(k+1)<4k2+4k+1
egyenlőtlenséggel, és ez nyilván teljesül A fentiek szerint

[(k+k+1)2]=4k+1, így
k=1n[(k+k+1)2]=k=1n(4k+1)=4n(n+1)2+n=2n2+3n,
és ezt kellett bizonyítani.