Feladat: F.2380 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Törőcsik Jenő 
Füzet: 1983/április, 148. oldal  PDF file
Témakör(ök): Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/október: F.2380

Meg lehet-e választani a ±1±2±...±100 kifejezésben az előjeleket úgy, hogy a kifejezés értéke éppen 1982 legyen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Belátjuk, hogy a ±1±2±...±100 kifejezésben az előjelek megfelelő megválasztásával minden -5050 és +5050 közötti páros szám előállítható. Ha minden előjel negatív, akkor az összeg -1001012=-5050, ha mindegyik pozitív, akkor 5050.
Állításunkat indukcióval bizonyítjuk. Tudjuk már, hogy -5050 előállítható ily módon. Belátjuk, hogy ha u<5050 szerepel az összegek között, akkor szerepel az u+2 is. Tekintsük u előállításában balról az első negatív előjelet (mivel u<5050, ilyen van). Ha ez az előjel az 1 előtt áll, akkor azt pozitívra változtatva az összeg kettővel nő. Ha 1-nél nagyobb szám előtt áll, akkor ezt az előjelet pozitívra és az eggyel kisebb szám előtti pozitív előjelet negatívra változtatva, az összeg ismét kettővel nő, vagyis előállítottuk az (u+2)-t.
Természetesen egy szám több különböző alakban is előállhat. Az 1982 egy lehetséges felírása:

-1-2-...-5+6-7-8...-54-55+56+...+100.
 

Törőcsik Jenő (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn. IV. o. t.)