|
Feladat: |
F.2366 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Alberti G. , Almássy T. , Balázs Z. , Böröczky K. , Cseri Hajnalka , Csörgő T. , Danyi P. , Drávucz Katalin , Erdős L. , Fekete Zs. , Fóris Z. , Fritz P. , Gulyás Gy. , Hetyei G. , Holbok I. , Károlyi Gy. , Komorowitz J. , Kovács 123 L. , Magyar Á. , Megyesi G. , Mikó Teréz , Mohay T. , Nádor P. , Papp 193 G. , Parajdi I. , Raffai Zs. , Szabó E. , Szemők Á. , Szurok B. , Tranta Beáta , Törőcsik J. , Ván P. , Virányi L. , Wágner P. , Weisz F. , Zacskó J. , Zieger B. |
Füzet: |
1983/január,
4 - 5. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometriai azonosságok, Körülírt kör középpontja, Beírt kör középpontja, Szinusztétel alkalmazása, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1982/április: F.2366 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a körülírt kör középpontja , a beírt köré pedig . Tekintsük a -et előjeles szögnek, -t előjeles szakasznak úgy, hogy mindkettő pozitív, ha a egyenes -t tartalmazó oldalán található. Mivel a feladat kitűzésében nem szerepel, hogy a két kérdéses egyenes szögei közül melyik, -et pozitívnak fogjuk tekinteni, ill. abszolút értékben keressük. Jelölésünk mellett ahol és rendre és jelöli -n. Kifejezzük az itt szereplő szakaszokat , tehát (előjelhelyesen)
a beírt kör érintőszakaszainak tétele alapján | | itt az egyszerűség kedvéért feltettük, hogy . Ezeket behelyettesítve (1)-be, majd továbbalakítva a sinustétel és ismert azonosságok alapján
Felhasználtuk, hogy , továbbá hogy . Továbbalakítva végül | |
Eredményül a bizonyítandó állítás ellentettjének abszolút értékét kaptuk. Mivel bármely két egyenes és szöget zár be, ezek tangensei pedig egymás ellentettjei, ezzel bebizonyítottuk, hogy valamelyik szög tangense valóban a bizonyítandó kifejezés. |
|