|
Feladat: |
F.2366 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Alberti G. , Almássy T. , Balázs Z. , Böröczky K. , Cseri Hajnalka , Csörgő T. , Danyi P. , Drávucz Katalin , Erdős L. , Fekete Zs. , Fóris Z. , Fritz P. , Gulyás Gy. , Hetyei G. , Holbok I. , Károlyi Gy. , Komorowitz J. , Kovács 123 L. , Magyar Á. , Megyesi G. , Mikó Teréz , Mohay T. , Nádor P. , Papp 193 G. , Parajdi I. , Raffai Zs. , Szabó E. , Szemők Á. , Szurok B. , Tranta Beáta , Törőcsik J. , Ván P. , Virányi L. , Wágner P. , Weisz F. , Zacskó J. , Zieger B. |
Füzet: |
1983/január,
4 - 5. oldal |
PDF file |
Témakör(ök): |
Trigonometriai azonosságok, Körülírt kör középpontja, Beírt kör középpontja, Szinusztétel alkalmazása, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1982/április: F.2366 |
|
Bizonyítsuk be, hogy az háromszög beírt és körülírt körének középpontját összekötő egyenes, valamint a egyenes által bezárt szögre | | hacsak β és γ különbözők.
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a körülírt kör középpontja O, a beírt köré pedig K. Tekintsük a CBO∢-et előjeles szögnek, DO-t előjeles szakasznak úgy, hogy mindkettő pozitív, ha O a BC egyenes A-t tartalmazó oldalán található. Mivel a feladat kitűzésében nem szerepel, hogy a két kérdéses egyenes szögei közül x melyik, tgx-et pozitívnak fogjuk tekinteni, ill. abszolút értékben keressük. Jelölésünk mellett ahol D és E rendre O és K jelöli BC-n. Kifejezzük az itt szereplő szakaszokat CBO∢=90∘-α, tehát (előjelhelyesen)
DO=BCctgα2,EK=AC+BC-AB2tgγα,
a beírt kör érintőszakaszainak tétele alapján | ED=BC2-AC+BC-AB2=AB2-AC2, | itt az egyszerűség kedvéért feltettük, hogy γ>β. Ezeket behelyettesítve (1)-be, majd továbbalakítva a sinustétel és ismert azonosságok alapján
tgx=|(AC+BC-AB)tgγ2-BCctgαAB-AC|=|(ACBC+1-ABBC)tgγ2-ctgαABBC-ACBC|==|(sinβ+sinα-sinγ)tgγ2-cosαsinγ-sinβ|==|sinαsinγ2-cosαcosγ2+sinβsinγ2-sinγsinγ2(sinγ-sinβ)cosγ2|==|-cos(α+γ2)-cos(β+γ2)+cosβcosγ2-2sin2γ2cosγ2(sinγ-sinβ)cosγ2|==|cosβ+cosγ-1sinγ-sinβ|=|2cosβ+γ2cosβ-γ2-12cosβ+γ2sinγ-β2|
Felhasználtuk, hogy (α+γ2)+(β+γ2)=180∘, továbbá hogy -2sin2x= =cos2x-1. Továbbalakítva végül | tgx=|2sinα2cosγ-β2-12sinα2sinγ-β2|. |
Eredményül a bizonyítandó állítás ellentettjének abszolút értékét kaptuk. Mivel bármely két egyenes x és 180∘-x szöget zár be, ezek tangensei pedig egymás ellentettjei, ezzel bebizonyítottuk, hogy valamelyik szög tangense valóban a bizonyítandó kifejezés.
|
|