Feladat: F.2366 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alberti G. ,  Almássy T. ,  Balázs Z. ,  Böröczky K. ,  Cseri Hajnalka ,  Csörgő T. ,  Danyi P. ,  Drávucz Katalin ,  Erdős L. ,  Fekete Zs. ,  Fóris Z. ,  Fritz P. ,  Gulyás Gy. ,  Hetyei G. ,  Holbok I. ,  Károlyi Gy. ,  Komorowitz J. ,  Kovács 123 L. ,  Magyar Á. ,  Megyesi G. ,  Mikó Teréz ,  Mohay T. ,  Nádor P. ,  Papp 193 G. ,  Parajdi I. ,  Raffai Zs. ,  Szabó E. ,  Szemők Á. ,  Szurok B. ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. ,  Ván P. ,  Virányi L. ,  Wágner P. ,  Weisz F. ,  Zacskó J. ,  Zieger B. 
Füzet: 1983/január, 4 - 5. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Körülírt kör középpontja, Beírt kör középpontja, Szinusztétel alkalmazása, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/április: F.2366

Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög beírt és körülírt körének középpontját összekötő egyenes, valamint a BC egyenes által bezárt x szögre
tg x=1-2sinα2cosγ-β22sinα2sinγ-β2
hacsak β és γ különbözők.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a körülírt kör középpontja O, a beírt köré pedig K.

Tekintsük a CBO-et előjeles szögnek, DO-t előjeles szakasznak úgy, hogy mindkettő pozitív, ha O a BC egyenes A-t tartalmazó oldalán található. Mivel a feladat kitűzésében nem szerepel, hogy a két kérdéses egyenes szögei közül x melyik, tgx-et pozitívnak fogjuk tekinteni, ill. abszolút értékben keressük. Jelölésünk mellett
tgx=|EK-DOED|,(1)
ahol D és E rendre O és K jelöli BC-n.
Kifejezzük az itt szereplő szakaszokat CBO=90-α, tehát (előjelhelyesen)
DO=BCctgα2,EK=AC+BC-AB2tgγα,
a beírt kör érintőszakaszainak tétele alapján
ED=BC2-AC+BC-AB2=AB2-AC2,
itt az egyszerűség kedvéért feltettük, hogy γ>β. Ezeket behelyettesítve (1)-be, majd továbbalakítva a sinustétel és ismert azonosságok alapján
tgx=|(AC+BC-AB)tgγ2-BCctgαAB-AC|=|(ACBC+1-ABBC)tgγ2-ctgαABBC-ACBC|==|(sinβ+sinα-sinγ)tgγ2-cosαsinγ-sinβ|==|sinαsinγ2-cosαcosγ2+sinβsinγ2-sinγsinγ2(sinγ-sinβ)cosγ2|==|-cos(α+γ2)-cos(β+γ2)+cosβcosγ2-2sin2γ2cosγ2(sinγ-sinβ)cosγ2|==|cosβ+cosγ-1sinγ-sinβ|=|2cosβ+γ2cosβ-γ2-12cosβ+γ2sinγ-β2|
Felhasználtuk, hogy (α+γ2)+(β+γ2)=180, továbbá hogy -2sin2x= =cos2x-1. Továbbalakítva végül
tgx=|2sinα2cosγ-β2-12sinα2sinγ-β2|.

Eredményül a bizonyítandó állítás ellentettjének abszolút értékét kaptuk. Mivel bármely két egyenes x és 180-x szöget zár be, ezek tangensei pedig egymás ellentettjei, ezzel bebizonyítottuk, hogy valamelyik szög tangense valóban a bizonyítandó kifejezés.