Kezdőlap


Feladat:	F.2363	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alberti G. , Almássy T. , Balázs Z. , Böröczky K. , Danyi P. , Fóris Z. , Hetyei G. , Holbok I. , Jaklics S. , Károlyi Gy. , Kovács 123 L. , Lehoczky I. , Magyar Á. , Megyesi G. , Miszori I. , Mohay T. , Nagy 548 R. , Náray M. , Nyikes P. , Parajdi I. , Réz A. , Sigray I. , Szabó 112 T. , Szabó E. , Szederkényi Edit , Szöllősi Gabriella , Ván P. , Virányi L. , Weisz F. , Zsigri G.
Füzet:	1982/december, 198 - 199. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Konstruktív megoldási módszer, Feladat, Hossz, kerület, Háromszögek geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/április: F.2363

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Igen, van. Legyen $D$ az $A B$ oldal felező pontja, s válasszuk például $P$ -nek az $A B$ szakasz egy pontját. Ha a $P D = x$ távolság racionális, akkor $A P$ és $P B$ is racionálisak, továbbá

\begin{matrix} C P = \sqrt[]{C D^{2} + D P^{2}} = \sqrt[]{x^{2} + \frac{3}{4}} = \frac{1}{8} \sqrt[]{{(8 x)}^{2} + 48} \end{matrix}

alapján

C P

is racionális lesz, ha a

8 x = 1

, azaz

x = 1 / 8

értéket választjuk.

Megjegyzések. 1. A most talált

A P C

háromszög oldalai rendre

A P = 3 / 8

P C = 7 / 8

A C = 8 / 8

, azaz a (3, 7, 8) oldalú háromszög egyik szöge

60^{\circ}

-os. A pitagorászi számhármasok mintájára nem nehéz megkeresni az összes olyan

(a, b, c)

egészekből álló számhármast, melyekre az

a b c

oldalú háromszög

b

-vel szemközti szöge

60^{\circ}

-os.

P

-nek választhatjuk az

A B

szakasznak azt a pontját is, melyre

P A = b / c

. Megmutatható, hogy ennek mintájára kijelölt pontok az

A B C

háromszög oldalegyenesein sűrűn helyezkednek el: akárhogyan választunk egy intervallumot a három oldalegyenes valamelyikén, ebben az intervallumban is található megfelelő

P

pont. Érdemes volna megvizsgálni, hogy a ,,jó'' pontok a síkon is sűrűn helyezkednek-e el, vagyis hogy minden kör belsejében van-e olyan

P

, amelyre

P A, P B, P C

mindegyike racionális.
2. A hasonló kérdés négyzetre, vagyis hogy van-e olyan

P

pont az egységnyi oldalú

A B C D

négyzet síkjában, melyre

P A, P B, P C, P D

mindegyike racionális, mindmáig megoldatlan probléma. A sejtés az, hogy nincs.