Feladat: F.2363 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alberti G. ,  Almássy T. ,  Balázs Z. ,  Böröczky K. ,  Danyi P. ,  Fóris Z. ,  Hetyei G. ,  Holbok I. ,  Jaklics S. ,  Károlyi Gy. ,  Kovács 123 L. ,  Lehoczky I. ,  Magyar Á. ,  Megyesi G. ,  Miszori I. ,  Mohay T. ,  Nagy 548 R. ,  Náray M. ,  Nyikes P. ,  Parajdi I. ,  Réz A. ,  Sigray I. ,  Szabó 112 T. ,  Szabó E. ,  Szederkényi Edit ,  Szöllősi Gabriella ,  Ván P. ,  Virányi L. ,  Weisz F. ,  Zsigri G. 
Füzet: 1982/december, 198 - 199. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Konstruktív megoldási módszer, Feladat, Hossz, kerület, Háromszögek geometriája
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/április: F.2363

Adott az ABC egységnyi oldalú szabályos háromszög. Van-e a háromszög síkjában olyan, a csúcsoktól különböző P pont, amelyre a PA, PB, PC szakaszok mind racionálisak?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Igen, van. Legyen D az AB oldal felező pontja, s válasszuk például P-nek az AB szakasz egy pontját. Ha a PD=x távolság racionális, akkor AP és PB is racionálisak, továbbá

CP=CD2+DP2=x2+34=18(8x)2+48
alapján CP is racionális lesz, ha a 8x=1, azaz x=1/8 értéket választjuk.
 

Megjegyzések. 1. A most talált APC háromszög oldalai rendre AP=3/8, PC=7/8, AC=8/8, azaz a (3, 7, 8) oldalú háromszög egyik szöge 60-os. A pitagorászi számhármasok mintájára nem nehéz megkeresni az összes olyan (a,b,c) egészekből álló számhármast, melyekre az abc oldalú háromszög b-vel szemközti szöge 60-os. P-nek választhatjuk az AB szakasznak azt a pontját is, melyre PA=b/c. Megmutatható, hogy ennek mintájára kijelölt pontok az ABC háromszög oldalegyenesein sűrűn helyezkednek el: akárhogyan választunk egy intervallumot a három oldalegyenes valamelyikén, ebben az intervallumban is található megfelelő P pont. Érdemes volna megvizsgálni, hogy a ,,jó'' pontok a síkon is sűrűn helyezkednek-e el, vagyis hogy minden kör belsejében van-e olyan P, amelyre PA,PB,PC mindegyike racionális.
2. A hasonló kérdés négyzetre, vagyis hogy van-e olyan P pont az egységnyi oldalú ABCD négyzet síkjában, melyre PA,PB,PC,PD mindegyike racionális, mindmáig megoldatlan probléma. A sejtés az, hogy nincs.