Feladat: F.2359 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ákosfai Z. ,  Alberti G. ,  Almássy T. ,  Ambrosz O. ,  Ambrus L. ,  Balázs Z. ,  Bánhegyi B. ,  Bobák Emese ,  Borsó Zs. ,  Böröczky K. ,  Drávucz Katalin ,  Engländer J. ,  Erdős L. ,  Finta P. ,  Hetyei G. ,  Holbok I. ,  Jaklis S. ,  Kis A. ,  Lengyel L. ,  Magyar Á. ,  Megyesi G. ,  Mikó Teréz ,  Mohay T. ,  Molnár L. ,  Nádor P. ,  Nyikes P. ,  Peták T. ,  Somlói J. ,  Szabó Cs. ,  Szabó E. ,  Szöllősi Gabriella ,  Tóth G. ,  Tóth L. ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. ,  Ván P. ,  Weisz F. ,  Zieger B. 
Füzet: 1982/november, 125 - 127. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trapézok, Párhuzamos szelők tétele, Ellipszis, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/március: F.2359

Az ABCD konvex trapéz hosszabbik párhuzamos oldala rögzített. A CD oldal úgy mozog, hogy közben sem a hossza, sem a trapéz kerülete nem változik. Milyen pályát ír le a szárak egyeneseinek metszéspontja?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A szöveg szerint a négyszög CD oldala mozog, tehát a rögzített oldal AB. És akkor CD||AB, továbbá a CD oldal változatlan c hossza kisebb AB=a-nál.


Jelöljük az AD és BC szárak metszéspontját M-mel, ez c<a, valamint a trapéz konvexsége alapján mindig létezik és az AB egyenesnek a CD-t tartalmazó partján van. Legyen még AM=d, BM=b, végül a változó oldalak állandó összege AD+DC+CB=k.
A párhuzamos szelők tétele alapján a szárak hossza:
AD=(1-ca)d,CB=(1-ca)b,
ezeket a föltételi egyenlőségbe helyettesítve
(1-ca)(d+b)+c=k,
és átrendezve az MA és MB távolságok összege
d+b=aa-c(k-c)=k-ca-ca=λa.

Itt a jobb oldal egyfelől állandó, másfelől a második alak szerint nagyobb, mint a, hiszen a trapéz létezik, tehát k>a; más szóval λ>1. Eszerint M mindig rajta van azon az ellipszisen, amelynek fókuszai a rögzített A, B csúcsok és nagytengelyének hossza λa.
Megfordítva, M ennek az ellipszisnek minden pontjába eljut ─ kivéve a nagytengelyének a végpontjait ─, mert az ellipszis minden ki nem zárt pontjához található CD-nek azt előállító helyzete. Legyen M* az ellipszis tetszőleges, ki nem zárt pontja ‐ így M*AB valóságos háromszög, továbbá A* az a pontja az AB alapnak amelyre AA*=c(<a=AB). Az A*-on átmenő és M*A-val párhuzamos egyenes M*B-t nyilván a megfelelő C pontban metszi.
Az ellipszis nagytengelyének végpontját véve M-nek, a trapéz elfajulna, hiszen C, D is rajta lenne AB-n, igy pedig AD és BC közös pontja határozatlan.
 

II. megoldás. Az előző megoldás ábrájához kapcsolódva A*C=AD, ennélfogva
A*C+CB=AC+DC+CB-DC=k-c,
állandó, C rajta van azon az e1 ellipszisen, amelynek fókuszai B és A* (utóbbi az adatokból egyértelműen meghatározható), és vezérsugarainak összege állandóan (k-c).
Másrészt M a BC félegyenesen van, és ─ mint már felhasználtuk,
BM=b=aa-cBC,
ezért M pályája az e1-nek B centrumú a/(a-c) arányú nagyított képe, ellipszis.
Másik F2 fókusza az A* képe ebben a nagyításban, tehát BF2=aa-cBA*=a=BA alapján A-ban van, nagytengelye pedig ─ ami a pályának lineáris mérete:
aa-c(k-c),
ahogy az I. megoldásban is láttuk.
 

Megjegyzés. Szóljunk egyszer a helyes magyar beszédnek egy ide vágó eleméről is! Vannak a matematikának olyan kérdései, amelyek megoldásához közeledve ‐ példán folytatjuk ‐ helyes ez a beszédmód: az X pont egy olyan vonalon van rajta, amely .... A megoldás befejeződhet azzal, hogy az olyan vonalak közül kikeressük azt (vagy azokat), amely már minden tekintetben megfelel.
Ez kissé divatossá vált. Megvan azonban a közbeszédben is, idézhetnénk az irodalomból, már a múlt századból való példákat is. Csakhogy azoknak megvan a maguk megfelelő háttere!
Példánkban azonban nincs szükség erre, ez itt fölösleges köntörfalazás. Amilyen ez a szintén divatos bizonytalankodás: "... hát ezt én így mondanám ...''. Tisztán látjuk, hogy csak egy olyan ellipszis van, ezt a magyar nyelv tömören így mondja, az az ellipszis, ....
Már halljuk az ellenvéleményt: az AB mint tengely körüli forgatással a térben végtelen sok olyan van. Akkor volna helyes ez a védekezés, ha 1. az előzmények alapján szó lehetne a térről, 2. utána igy zárná le a vitatkozó: egy olyan ellipszis, mégpedig az (az egyetlen), amely benne van a trapéz síkjában.
Pedig a trapéz síkjáról nem beszéltünk korábban! Mert természetesnek vesszük, hogy a feladat síkban értendő.
Ez a "háttér'' sok geometriai feladathoz hozzáértendő. Hanem ha valahol megbújik a szövegben valami kis említés síkról, akkor már a térre is gondolni kell ‐ azért, mert nem mondták ki, de céloztak rá.
 (B. T.)