Feladat: F.2356 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bánhegyi B. ,  Bolla J. ,  Borsó Zs. ,  Böröczky K. ,  Csörgő T. ,  Danyi P. ,  Drávucz Katalin ,  Engländer J. ,  Erdős L. ,  Ferkel Bernadett ,  Finta P. ,  Fóris Zs. ,  Fritz P. ,  Hetyei G. ,  Kántor Cs. ,  Kardoni B. ,  Komorowicz J. ,  Kovács B. ,  Lengyel Zs. ,  Litkei F. ,  Magyar Á. ,  Megyesi G. ,  Mohay T. ,  Náray M. ,  Peták T. ,  Somlói J. ,  Szabó Cs. ,  Szabó E. ,  Szalai J. ,  Szederkényi Edit ,  Szemők Á. ,  Tóth G. ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. ,  Weisz F. 
Füzet: 1982/november, 123. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Legkisebb közös többszörös, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/március: F.2356

Az a1, a2, ..., ak pozitív egész számokra teljesül, hogy na1>a2>...>ak, továbbá közülük bármely kettő legkisebb közös többszöröse legfeljebb n. Bizonyítandó, hogy iain.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen aj-1 és aj legkisebb közös többszöröse tn. Ekkor t/aj-1 és t/aj különböző egész számok, és közülük az első a kisebb, azaz

1taj-taj-1naj-naj-1.
Ezeket az egyenlőtlenségeket j=2,3,...,i-re a nyilvánvaló 1n/a1 egyenlőtlenséghez hozzáadva kapjuk, hogy
ina1+(na2-na1)+...+(nai-nai-1)=nai;
amit bizonyítanunk kellett.
 

Megjegyzés. Ha n=k! és ai=ni, akkor a feltételben is és az állításban is épp az egyenlőség teljesül, tehát az állítás nem javítható.