Kezdőlap


Feladat:	F.2356	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bánhegyi B. , Bolla J. , Borsó Zs. , Böröczky K. , Csörgő T. , Danyi P. , Drávucz Katalin , Engländer J. , Erdős L. , Ferkel Bernadett , Finta P. , Fóris Zs. , Fritz P. , Hetyei G. , Kántor Cs. , Kardoni B. , Komorowicz J. , Kovács B. , Lengyel Zs. , Litkei F. , Magyar Á. , Megyesi G. , Mohay T. , Náray M. , Peták T. , Somlói J. , Szabó Cs. , Szabó E. , Szalai J. , Szederkényi Edit , Szemők Á. , Tóth G. , Tranta Beáta , Törőcsik J. , Weisz F.
Füzet:	1982/november, 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Legkisebb közös többszörös, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/március: F.2356

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $a_{j - 1}$ és $a_{j}$ legkisebb közös többszöröse $t ≦ n$ . Ekkor $t / a_{j - 1}$ és $t / a_{j}$ különböző egész számok, és közülük az első a kisebb, azaz

\begin{matrix} 1 ≦ \frac{t}{a_{j}} - \frac{t}{a_{j - 1}} ≦ \frac{n}{a_{j}} - \frac{n}{a_{j - 1}} . \end{matrix}

Ezeket az egyenlőtlenségeket

j = 2, 3, ..., i

-re a nyilvánvaló

1 ≦ n / a_{1}

egyenlőtlenséghez hozzáadva kapjuk, hogy

\begin{matrix} i ≦ \frac{n}{a_{1}} + (\frac{n}{a_{2}} - \frac{n}{a_{1}}) + ... + (\frac{n}{a_{i}} - \frac{n}{a_{i - 1}}) = \frac{n}{a_{i}}; \end{matrix}

amit bizonyítanunk kellett.

Megjegyzés. Ha

n = k!

és

a_{i} = \frac{n}{i}

, akkor a feltételben is és az állításban is épp az egyenlőség teljesül, tehát az állítás nem javítható.