Feladat: F.2355 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1982/október, 63 - 64. oldal  PDF file
Témakör(ök): Skatulyaelv, Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/február: F.2355

Bizonyítandó, hogy minden konvex poliédernek van két lapja, amelyeknek egyenlő az oldalszáma.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha adott a térben egy P pont és egy P-t nem tartalmazó S sík, a nem S-en levő pontokat két osztályba sorolhatjuk aszerint, hogy P-vel összekötve őket, S-et metsző vagy S-et nem metsző szakaszt kapunk-e. Belátható, hogy a tér S-hez nem tartozó pontjainak ilyen kettévágása nem függ a P pont megválasztásától. A kapott részeket nyílt féltereknek hívjuk, véges sok nyílt féltér közös részét pedig konvex poliédernek nevezzük, ha az korlátos és nem üres. (A tér valamely H ponthalmazát korlátosnak mondjuk, ha van a térben olyan P pont, és van olyan A valós szám, hogy H minden pontjának P-től mért távolsága kisebb A-nál.) Legyen K tetszőleges konvex poliéder, és tekintsük a K-t meghatározó síkokat. Ezek mindegyikéből a többiek egy‐egy konvex sokszöget metszenek ki, e sokszögeket hívjuk K lapjainak. Lényeges, a konvexségből következő körülmény, hogy K-nak minden síkon csak egy lapja van, és K két lapjának csak egy közös oldala lehet. Legyen L a K-nak olyan lapja, amelynél több oldala K egyetlen lapjának sincs. Jelöljük n-nel L oldalainak a számát, és tekintsük K L-lel szomszédos lapjait. Ezek oldalszáma csak 3 és n közti egész szám lehet, a számuk viszont n, így biztosan van köztük kettő, amelynek egyenlő az oldalszáma.

 

II. megoldás. Felhasználjuk a konvex poliéderekre vonatkozó, Eulertől származó
L+C=É+2(1)
összefüggést, amelyben L a lapok, C a csúcsok és É az élek számát jelöli. Tegyünk képzeletben minden él felezőpontjára két katicabogarat, és indítsuk el az egyiket az él egyik, a másikat az él másik végpontja felé. Mivel minden csúcsba legalább 3 él fut be, ha a bogarakat a csúcsok szerint számoljuk össze, legalább 3C-t kapunk, viszont eredetileg 2É bogarunk volt. Emiatt
2É3C,
amiből (1) alapján kapjuk, hogy
6L+4É6L+6C=6É+12,
vagyis
6L2É+12.(2)

Jelöljük az i oldalszámú lapok számát Si-vel, akkor
L=S3+S4++Sn,
ahol n ismét az oldalak maximális számát jelöli, és
2É=3S3+4S4+...+nSn,
hiszen az éleket a lapok szerint összeszámolva, minden élt kétszer számolunk. Ezeket (2)-be helyettesítve kapjuk, hogy
6i=3nSii=3niSi+12.


Ha n>6, és az összegezést mindkét oldalon csak 6-ig végezzük el, a jobb oldalt csökkentjük többel, tehát
6i=36Sii=36iSi+12.
Ebből végül is azt kapjuk, hogy
i=36(6-i)Si=3S3+2S4+S512,
tehát már S3, S4, S5 között is biztosan található egynél nagyobb, hiszen ha S31, S41, S51, akkor
3S3+2S4+S56.

 
Megjegyzés. Az (1) összefüggés nemcsak konvex poliéderekre igaz, hanem mindazokra a véges sok síklappal határolt testekre, amelyek ún. folytonos deformációval gömbbé alakíthatóak. Ilyen például, az ábrán látható test, amelynek érdekessége, hogy az alaplapjának több oldala van, mint ahány lapja egyáltalán a testnek van.