A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ha adott a térben egy pont és egy -t nem tartalmazó sík, a nem -en levő pontokat két osztályba sorolhatjuk aszerint, hogy -vel összekötve őket, -et metsző vagy -et nem metsző szakaszt kapunk-e. Belátható, hogy a tér -hez nem tartozó pontjainak ilyen kettévágása nem függ a pont megválasztásától. A kapott részeket nyílt féltereknek hívjuk, véges sok nyílt féltér közös részét pedig konvex poliédernek nevezzük, ha az korlátos és nem üres. (A tér valamely ponthalmazát korlátosnak mondjuk, ha van a térben olyan pont, és van olyan valós szám, hogy minden pontjának -től mért távolsága kisebb -nál.) Legyen tetszőleges konvex poliéder, és tekintsük a -t meghatározó síkokat. Ezek mindegyikéből a többiek egy‐egy konvex sokszöget metszenek ki, e sokszögeket hívjuk lapjainak. Lényeges, a konvexségből következő körülmény, hogy -nak minden síkon csak egy lapja van, és két lapjának csak egy közös oldala lehet. Legyen a -nak olyan lapja, amelynél több oldala egyetlen lapjának sincs. Jelöljük -nel oldalainak a számát, és tekintsük -lel szomszédos lapjait. Ezek oldalszáma csak 3 és közti egész szám lehet, a számuk viszont , így biztosan van köztük kettő, amelynek egyenlő az oldalszáma. II. megoldás. Felhasználjuk a konvex poliéderekre vonatkozó, Eulertől származó összefüggést, amelyben a lapok, a csúcsok és az élek számát jelöli. Tegyünk képzeletben minden él felezőpontjára két katicabogarat, és indítsuk el az egyiket az él egyik, a másikat az él másik végpontja felé. Mivel minden csúcsba legalább 3 él fut be, ha a bogarakat a csúcsok szerint számoljuk össze, legalább -t kapunk, viszont eredetileg bogarunk volt. Emiatt amiből (1) alapján kapjuk, hogy vagyis Jelöljük az oldalszámú lapok számát -vel, akkor ahol ismét az oldalak maximális számát jelöli, és hiszen az éleket a lapok szerint összeszámolva, minden élt kétszer számolunk. Ezeket (2)-be helyettesítve kapjuk, hogy
Ha , és az összegezést mindkét oldalon csak 6-ig végezzük el, a jobb oldalt csökkentjük többel, tehát Ebből végül is azt kapjuk, hogy | | tehát már , , között is biztosan található egynél nagyobb, hiszen ha , , , akkor
Megjegyzés. Az (1) összefüggés nemcsak konvex poliéderekre igaz, hanem mindazokra a véges sok síklappal határolt testekre, amelyek ún. folytonos deformációval gömbbé alakíthatóak. Ilyen például, az ábrán látható test, amelynek érdekessége, hogy az alaplapjának több oldala van, mint ahány lapja egyáltalán a testnek van.
|