|
Feladat: |
F.2343 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ákosfai Z. , Alberti G. , Almássy T. , Beke S. , Böröczky K. , Csörgő T. , Hetyei G. , Holbok I. , Károlyi Gyula , Magyar Á. , Mikó Teréz , Mohai T. , Nagy 548 R. , Raffai Zs. , Simák Gy. , Szállási Z. , Tranta Beáta , Törőcsik J. , Virányi L. , Zieger B. |
Füzet: |
1982/szeptember,
13 - 16. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Csonkakúp, Terület, felszín, Szögfüggvények a térben, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1981/december: F.2343 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Feltehetjük, hogy . Jelöljük a körök külső hasonlósági pontját -val, a nagyobb kör középpontját -val, a kisebbét -vel, a szelő és az egyenes hajlásszögét -val (1 ábra).
1. ábra A szóban forgó két csonkakúp-palást hasonló ( középpontú nyújtással egymásba átvihetők), az egymásnak megfelelő lineáris méretek aránya megegyezik a körök sugarainak arányával, felszíneik aránya pedig e sugarak négyzeteinek arányával. Ha a nagyobb csonkakúp-palást felszíne , akkor a kisebbé , különbségük pedig . Látható, hogy ez akkor a legnagyobb, amikor maga is a lehető legnagyobb. . Fejezzük ki -t függvényeként. Legyenek a szelőnek az sugarú körrel alkotott metszéspontjai , ezekből az egyenesre bocsátott merőlegesek talppontjai , . A csonkakúp-palást felszínének ismert képlete szerint Legyen még az -ból a szelőre bocsátott merőleges talppontja (egyben az húr felezőpontja) , -ből az egyenesre bocsátott merőleges talppontja pedig . az derékszögű trapéz középvonala, így , mivel merőleges szárú szögek, és mindkettő hegyesszög. Az derékszögű háromszögben tehát
Másrészt az derékszögű háromszögben továbbá a körök hasonlósága alapján ahonnan Ezek szerint Az derékszögű háromszögben | | Az húr ennek kétszerese. A kapott összefüggések alapján a palástfelszín: | |
Mivel , ezért ugyanakkor maximális, amikor négyzetének pozitív konstans szorosa maximális. Elég tehát a | |
kifejezést vizsgálnunk, amely a és jelöléssel a következő alakot ölti: | |
Az 1. ábráról leolvasható az a fontos észrevétel, hogy ahol a körök közös külső érintőinek az egyenessel alkotott hajlásszöge. Hagyjuk most egy pillanatra figyelmen kívül és a jelentését, és tekintsük a valós számokon értelmezett függvényt, ahol 1-nél kisebb pozitív állandó. E függvénynek valós zérus helye van, növekedő rendben: , , . És mivel együtthatója pozitív, ezért a függvény grafikonjának jellege a 2. ábra szerinti.
2. ábra Mivel azonban feladatunkban és továbbá , azért e grafikonnak csak a és közé eső darabja ír le valóságos palástfelszín változást. A felvetett kérdésre közel a válasz. Az függvény deriváltjának és közé eső zérushelyét kell megkeresnünk, abból alapján a keresett szög meghatározható. zérushelyei | | Megmutatjuk, hogy , és hogy . Az első állításhoz két irányból adunk becslést a gyökös kifejezésre:
egyrészt ,
másrészt . A másodikhoz pedig | | hiszen . Ezek szerint az a hely, amit keresünk. Mindezek alapján a keresett szög: | |
(olvasd: arkusz szinusz főérték ) azt a (radiánban mért) a szöget jelenti, amelyre és . (L. L.)
Károlyi Gyula (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.) |
|